Jacobi正交多项式

注：本文的内容主要根据文末中的参考文档[1,2,3]中的内容进行整理完成。

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一些基本概念

设$I=[-1,1]$是实轴上的标准区间，定义在$I$上的正函数：
$${\omega }_{\alpha ,\beta }(x)=(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta },\alpha >-1,\beta >-1$$
是权函数。
赋权的Sobolev空间记为$H_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^r(I)$。

• 当$r=0$时，$H_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^0(I)=L_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^2(I)$ 是平方可积的函数空间，其上的内积和范数定义为：
  $$\begin{gathered} ⟨u,v{⟩}_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}={\int }_{I}u(x)v(x){\omega }_{\alpha ,\beta }(x)\mathrm{d}(x), \\ \Vert u{\Vert }_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}=\sqrt{⟨u,u{⟩}_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}}. \end{gathered}$$
• 当$r>0$且为整数时，
  $$H_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^r(I)=\left\{u\in L_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^2(I):\frac{{\mathrm{d}}^{k}u}{\mathrm{d}{x}^k}\in L_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^2(I),0\le k\le r\right\},$$
  它的内积，范数，半范数分别为：
  $$\begin{gathered} ⟨u,v{⟩}_{r,{\omega }_{\alpha ,\beta }}=\sum _{k=0}^r{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{k}u}{\mathrm{d}{x}^k},\frac{{\mathrm{d}}^{k}v}{\mathrm{d}{x}^k}\right)}_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}, \\ \Vert u{\Vert }_{r,{\omega }_{\alpha ,\beta }}=\sqrt{⟨u,u{⟩}_{r,{\omega }_{\alpha ,\beta }}}, \\ |u{|}_{r,{\omega }_{\alpha ,\beta }}=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{k}u}{\mathrm{d}{x}^k},\frac{{\mathrm{d}}^{k}v}{\mathrm{d}{x}^k}\right)}_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}}. \end{gathered}$$
• 当$r>0$且为实数时，我们可以通过内插空间[4]来定义$H_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^r(I)$.

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Jacobi 正交多项式的定义

本节给出Jacobi正交多项式的三种不同的定义。

• 定义1： Jacobi正交多项式${\left\{J_n^{\alpha ,\beta }(x)\right\}}_{n=0}^{\infty }$可以通过正交化代数多项式基底$\left\{1,x,x^2,\cdots ,x^n,\cdots \right\}$得到，这里的正交化是在内积空间$L_{{\omega }_{\alpha ,\beta }}^2(I)$中进行的。我们称$J_n^{\alpha ,\beta }(x)$为$n$次Jacobi多项式。

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参考文献：
[1] 赵廷刚，张建宏. Jacobi正交多项式的一些性质. 甘肃高师学报，14(5), 2009.
[2] Jacobi正交多项式种类. https://max.book118.com/html/2020/0815/5334111143002331.shtm
[3] 一般正交多项式性质. https://zhuanlan.zhihu.com/p/270620896.
[4] R. Askey. Orthogonal polynomials and special functions. Regional conderence seris in applied mathematics, SIAM, Phiadelphia, 1975.