使用无线信号进行测距时,其测距性能和信号格式相关。和无线通信的信道容量类似,测距性能也和信号带宽、信号能量相关。那么,给定信号带宽和信号能量的条件下,无线信号的测距性能下界在哪里。本文简介学界给出的两种界,分别时Cramer-Rao Bound和Ziv-Zaka Bound。
考虑无线测距情况,在一个无多径的信道下接收到的基带信号可以表示为:
x ( t ) = s ( t − τ ) + v ( t ) , 0 ≤ t ≤ T x(t) = s(t-\tau)+v(t), 0 \leq t \leq T x(t)=s(t−τ)+v(t),0≤t≤T
其中:
接收信号 x ( t ) x(t) x(t)通过一个带宽为 [ − B , + B ] [-B,+B] [−B,+B]的滤波器,并以采样率 f s = 2 M B f_s = 2MB fs=2MB进行采样得到数字信号,其中 M ≥ 1 M \geq 1 M≥1,满足奈奎斯特采样率要求。采样得到的数字信号表示为:
x ( n ) = s ( n − n τ ) + v ( n ) x(n) = s(n-n_{\tau})+v(n) x(n)=s(n−nτ)+v(n)
其中, 0 ≤ n ≤ M N − 1 0 \le n \le MN-1 0≤n≤MN−1, M N = T f s MN=Tf_s MN=Tfs, n τ = τ f s n_{\tau} = \tau f_s nτ=τfs,是按采样点计算的延迟。
克拉美罗界,英文为Cramer-Rao bound (CRB),是在参数估计中表示一个确定性参数的估计的方差下界,它的最简单形式是:任何无偏估计的方差至少大于Fisher信息的倒数。
在上述的测距信号模型下,CRB表示为:
V a r { τ ^ } ≥ 1 ξ N 0 / 2 F ˉ 2 Var\{ \hat{\tau} \} \ge \frac{1}{\frac{\xi }{N_0/2} \bar{F}^2} Var{τ^}≥N0/2ξFˉ21
其中:
从上式可以看出:
从上面的分析可知,无线信号的测距性能在能量一定的情况下,和带宽相关,而更加明确的说法,是MSB带宽。也就是说,相同的信号带宽,如果尽量把能量往带宽两边放,则其测距性能越好。举例而言,一个占有1M带宽的直扩信号的测距性能,弱于一个间距为1MHz的两个子载波上进行调制的信号。
在UWB定位系统中,通常采用的基本脉冲是基本高斯脉冲的n阶导数。该高斯脉冲为: g ( t ) = e x p ( − 2 π t 2 τ g 2 ) g(t)=exp(\frac{-2\pi t^2}{\tau_g^2}) g(t)=exp(τg2−2πt2),其中 τ g \tau_g τg为脉宽。该脉冲波形如下所示:
推导可得该UWB脉冲信号的Gabor带宽为:
F ˉ = 2 n + 1 2 π τ g 2 \bar{F} = \sqrt{\frac{2n+1}{2\pi \tau_g^2}} Fˉ=2πτg22n+1
由上可知,脉宽越窄、阶数越高,其Gabor带宽越大,测距性能越好。
由于CRB的在较低信噪比或较短观测时长的情况下并不精确,学界提出了另外一种求下界的思路:TOA估计器的MSE性能可以通过其在不同信噪比区域的行为来表征:低、中、高信噪比,并通过确定两个阈值边界来区分这三个区域。
ZZB的思想是把一个估计问题的性能评估转换为一个二元检测问题。
V a r { τ ^ } = E { ξ 2 } = 1 2 ∫ 0 ∞ z P { ∣ ξ ∣ ≥ z 2 } d z Var\{ \hat{\tau} \} = E\{\xi^2\} = \frac{1}{2} \int_0^\infty z P\{|\xi| \ge \frac{z}{2}\} dz Var{τ^}=E{ξ2}=21∫0∞zP{∣ξ∣≥2z}dz
其中, P { ∣ ξ ∣ ≥ z 2 } P\{|\xi| \ge \frac{z}{2}\} P{∣ξ∣≥2z}可以通过在 [ 0 , T a ] [0,T_a] [0,Ta]间平均分布的概率分布假设,用经典的二元检测来推导。
H 1 : r ( t ) p { r ( t ) ∣ τ } H 2 : r ( t ) p { r ( t ) ∣ τ + z } \begin{align} H1 &: r(t) ~ p\{r(t)|\tau\} \\ H2 &: r(t) ~ p\{r(t)|\tau+z\} \end{align} H1H2:r(t) p{r(t)∣τ}:r(t) p{r(t)∣τ+z}
ZZB的下界表示为:
V a r Z Z B { τ ^ } ≥ 1 2 ∫ 0 ∞ z ( T a − z ) P m i n ( z ) d z Var_{ZZB}\{ \hat{\tau} \} \ge \frac{1}{2} \int_0^\infty z (T_a-z)P_{min}(z)dz VarZZB{τ^}≥21∫0∞z(Ta−z)Pmin(z)dz
其中, P m i n ( z ) P_{min}(z) Pmin(z)是最佳判决的错误概率,对应于AWGN信道,该值为:
P m i n ( z ) = Q [ ξ N 0 ( 1 − ρ g ( z ) ) ] P_{min}(z) = Q[\sqrt{\frac{\xi }{N_0}(1-\rho_g(z))}] Pmin(z)=Q[N0ξ(1−ρg(z))]
下图是参考文献[3]中给出的UWB信号中的CRB界和ZZB界的结果。明显看到ZZB界中分为了三个区域。