惯性导航原理(六)-IMU误差分类(中)-陀螺+加速度计测量模型+误差模型+Allan方差简介

噪声（Noise ）

• 幅度(RMS)与带宽的平方根成正比
  
• 由上图可知，信号总能量就是幅度的平方；功率谱密度对于惯性传感器来说才是本质的参数，它变低了，说明传感器才是真正的好。

通过求平均来降低噪声的幅度：幅度(RMS)与平均时间的平方根成反比。(当我们用陀螺和加速度计进行静态测量时，被测参数是一个常值，常值在时域上，常值信号，它的带宽为0，即0HZ；这时就可以用一个最简单最狠的低通滤波，即求平均，来降低噪声的影响)

陀螺白噪声与角度随机游走的关系

上图可以知道：
1.惯性传感器里面，以陀螺为例，陀螺输出为角速度，惯导算法里总是要做某种形式积分，积分结果就变为角度；角速度白噪声就变为角度随机游走
2.白噪声层面，参数为功率谱密度；随机游走模型参数变为发散率；他俩本质相同
3.以公式为例，白噪声平方的数学期望，等于功率谱密度乘以一个狄拉克函数(狄拉克函数积分面积为1)；随机游走功率的数学期望，等于发散率乘以时间(时变的，随着时间线性发散)，时间越长，功率统计值越大，也就是幅度随着时间的开方而线性增长
4.求平均是有效的抑制白噪声的方式；从0到t时刻的平均值，是随机游走的1/t；而白噪声的平均值他的功率，就是它的平方的数学期望；幅度是功率的开方，因此，幅度是和根号t成反比（下面示例可以看出）

白噪声RMS vs. 平均时长（举例）

原来是1000HZ，每10个点求平均，就变为100HZ了，幅度也降下来了，而且是原来幅度的1/sqrt(10)；每100个点求平均，就变为10HZ了幅度更低，是原来的1/10

总结

带宽降低，噪声幅度就会减少；平均时间延长，噪声幅度也会减少

实际的传感器信号

上图表示光纤陀螺采集的实际输出，这是在静止时候测出的，西现做一些解释：
图中蓝色曲线为陀螺的实际输出，水平蓝色实线为实际输入（静止时，实际输入的角速度其实就是地球自转的投影），白色线就是表示一些小的波动

陀螺测量模型

加速度计测量模型

下图可以看到，加速度计测量模型就是多了两个误差，一个是非线性比例因子误差矩阵，一个是重力异常

至于为什么加速度计要考虑非线性，可能是历史原因造成的，当惯导用在武器系统时，由于加速度会很大，且量程很大，所以就要考虑非线性，但一般建模不考虑

术语解释

易混淆的概念:

• Bias零偏 vs. Bias error零偏误差; SF比例因子 vs. SF error;比例因子误差
• Random Walk vs. White Noise

同义词:

• Drift, variation, instability, stability;对零偏而言
• Non-orthogonality, cross-axis, axis-misalignment对交轴耦合而言

易混淆的单位:

• Accel: m/s2, g, mg, ug, mGal, m/s/h;通常计算时不以重力g为单位
• Gyro: rad/s, deg/s, deg/h;
  For white noise (or random walk):
• Spectrum density (q) vs. sqrt(q)
• rad/s/sqrt(Hz), deg/s/sqrt(Hz) = deg/sqrt(s), deg/sqrt(h);
• m/s2/sqrt(Hz) = m/s/sqrt(s), ug/sqrt(Hz), m/s/sqrt(h).

如果误差本身随机量是高斯分布，那么高斯分布RMS=1sigma;高斯分布峰峰值=6sigma

误差模型

高斯白噪声：用来描述噪声的不二之选
随机游走：对陀螺来讲，陀螺输出的角速度有什么发散的误差话，就用它建模
一阶高斯马尔可夫过程：常用，非常简单的随机模型，用来描述、拟合或者接近很多种随机过程
随机常数：因为数值不随时间变化，因此是一个常数，但是有时我们不知道它具体是多少(比如在标定前，不知道惯导的常值误差时)，在这种情况下就是随机常数；在知道多少时，就是常数了
零偏不稳定性可以用两种模型来描述：若零偏波动的不确定性比较大，就可以用一个发散的随机游走来描述，但是注入了太多的随机性，因为这个随机游走是无限发散的，而零偏不是无限发散的，但随机游走只需要确定一个参数；一阶高斯马尔可夫过程中，变化快慢和幅度可以用不同参数来调整，可以描述波动范围有限的参数比较贴切，需要确定两个参数
Allan方差分析适合于时间频率领域和惯性导航领域

自相关(Auto correlation)*

当一阶马尔可夫模型的相关时间越大，则曲线越宽；当相关时间越小，则曲线越往白噪声的自相关曲线靠拢

功率谱密度*（PSD）– Example

上面两种传统方法是时间序列分析通用的方法，但是不适用于惯导领域，因为我们的惯导传感器关注的误差主要集中在低频部分，也就是缓慢的零偏变化

下面的Allan方差分析是惯导领域最常用的：

Allan方差计算

1.Allan方差对惯性传感器的误差的关注主要在不确定性或稳定性上，但是关注的是不同时间尺度上的稳定性，和应用领域有关
2.计算方法如上图，主要是计算时间尺度内的均值，以及每个相邻均值的差值，最后统计差值的RMS值
3.若要从低到高时间尺度都做一遍，这样就能得到一个Allan方差的序列，可以画出一个曲线，横轴为块长度；而Allan方差分析，分析的就是这一根曲线，分析的部分已在下节更新
4.不关心的细节，也就是时间尺度内的短时间，通过求平均去掉；相邻块求差方式把长时间尺度的不确定性去掉；因此最后得到的结果就是纯粹的指定时间尺度上的不确定性和变化。