前言
在统计学中描述随机变量的两个经典参数是均值和方差,早期在定量表征原子钟的频率稳定度时采用的就是经典方差方法。1996年,学者D.W.Allan在分析铯原子钟频标的频率稳定度时发现经典方差随着时间的增长而发散,为了解决该问题,提出了一种新的评定方法,后来称为艾伦方差。由于惯性器件也具有振荡器的特征,Allan方差分析也被广泛应用于惯性器件的随机误差建模,IEEE标准中就将Allan方差方法引入到了激光陀螺的建模分析。
Allan方差的物理意义以及应用本质来源于它与功率谱之间的关系,本文首先从功率谱入手推导艾伦方差,然后教大家如何从艾伦方差log曲线中辨识IMU的各种噪声,最后会给出Allan方差的实例应用,包括光纤惯导和Mems惯导,并且给出了和10s平滑方法的差异。
推导过程
因为内容较多,这里只会给出一个大概的推导流程,更多细节的推导可以参考严恭敏老师《惯性仪器测试与数据分析》一书。
从时域测量方面来分析,Allan方差定义如下:
然后是艾伦方差和功率谱密度之间的关系,如下所示:
上式中
从艾伦方差曲线中可以辨识出IMU的五种噪声,分别为:量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定性噪声,角速率随机游走,速率斜坡,一般在IMU噪声辨识中用的比较多的是中间3种。
下面分别介绍5种噪声和Allan方差之间的关系。
1.量化噪声(Quantization Noise,QN)
量化噪声产生的来源是传感器在经过A/D转换环节,即存在模拟量向数字量的转化的量化过程,然后这一过程是必然存在信息损失的,所以量化噪声代表了传感器检测的最小分辨率水平。
角速率的量化噪声功率谱为:
代入艾伦方差和功率谱密度关系公式中得到:
上公式化简整理可得:
由此可见,在Allan方差
这里需要注意一下,严格意义上应该称
量化噪声具有很宽的带宽,属于高频噪声,在实际应用中可进行低通滤波处理或大部分被导航姿态更新(积分)环节所滤除,因而一般对系统精度的影响不大。
2.角度随机游走(Angular Random Walk,ARW)
如果陀螺仪角速度为高斯白噪声,那么积分得到的角度就会表现为角度随机游走现象。根据随机过程理论,随机游走是一种独立增量过程,含义是:角速率白噪声在两相邻采样时刻进行积分,不同时段的积分值之间互不相关。
从角速率来看,其功率谱为常值,公式如下:
公式中的N为角度随机游走系数,同样的,代入艾伦方差和功率谱密度关系公式中可得:
可见,在
角度随机游走是陀螺仪非常重要的一个噪声参数,在卡尔曼滤波中设置P阵中需要辨识这一参数。如果使用的是陀螺仪角增量信号,因为增量输出是一个积分过程,所以Allan方差的角度随机游走系数和采样频率无关,但是如果直接采样角速率数据,建议尽量提高采样频率来减少信息的损失,比如取两倍的带宽频率,能达到4到6倍或者以上更佳。
3.零偏不稳定性噪声(Bias Instability,BI)
根据《光纤陀螺仪指标(国军标)》的定义,零偏不稳定性主要表征了光纤陀螺输出量围绕其均值变化的离散程度。其功率谱密度与频率成反比,零偏不稳定性噪声的角速率功率谱为:
上式中
所以,在
零偏不稳定性噪声具有低频特性,在陀螺输出中表现为零偏随时间的缓慢波动。
4.角速率随机游走(Rate Random Walk,RRW)
和角速度随机游走的概念类似,如果陀螺角加速率建模为高斯白噪声,则角速率表现为随机游走现象。
角加速率的功率谱为:
根据功率谱相关性质,得到角速率的功率谱公式如下:
所以:
因此,在
5.速率斜坡(Rate Ramp,RR)
如果陀螺仪的角速率输出随时间缓慢变化,比如由于环境温度变化,角速率
上公式中
所以有:
可见,当角速率误差随时间线性变化时,将在
实际上,角速率斜坡更像是一种确定性的误差,而不是随机误差。角速率斜坡常常由系统误差引起的,比如环境温度的缓慢变化,通过严格的环境温度控制或者引入补偿机制可以降低此类误差。
5种艾伦方差汇总介绍与单位转换
上面介绍了5种噪声参数和Allan方差之间的关系,实际系统输出信号的功率谱不一定是单一斜率的,而可能由几种统计独立的线性功率谱叠加组合而成,若将该总功率谱作为Allan方差滤波器的输入,则陀螺误差的Allan方差分析结果可写为:
整理可得到:
需要注意的是上公式是在国际单位制上推导出来的,上式中的
但是我们习惯上
通过相应的变量替换:
整理可得:
上式非常重要,有了它,当我们画出Allan方差曲线后,就可以直接通过读图的方式,辨识出各种噪声参数。
艾伦方差辨识参数的误差问题
理论上,Allan方差是随机过程一个现实的一种时间平均,但是由于实际应用时总是基于有限长度样本数据计算的,因而与经典方差估计一样,Allan方差也可看作是一种估计或统计量,服从一定的概率分布。研究表明,Allan方差估计
上式中
艾伦方差曲线的绘制方法
假设我们获得了一组平均角速率样本序列:
公式中
下面给出实现Allan方差计算的具体步骤:
(1)首先计算取样时间为
(2)其次将取样时间间隔加倍,记
组成新的取样时间间隔为
显然新序列的长度减半(但可能相差1个数据,下同),计算取样时间为
(3)再次将取样时间间隔加倍,记
组成新的取样时间间隔为
新序列的长度再次减半,计算取样时间为
(4)如此反复将取样时间间隔不断加倍,记
并计算取样时间为
至此获得一系列的点对,
从上述计算过程可以看出,在
艾伦方差相关代码
下面给出艾伦方差曲线绘制的matlab代码,可以对应上面的步骤。
function
从艾伦方差曲线中辨识噪声参数可以通过手动读图的方式,当然也可以通过自动化的形式,自动辨识出参数,下面代码是一个自动辨识角度随机游走参数的代码,主要步骤是:通过辨识的噪声参数对应到log曲线频率,通过查找最为接近的频率对应的纵坐标数据。
需要注意的是下面代码输入的陀螺仪单位是国际单位,为
%% Noise Parameter Identification
艾伦方差应用实例
1.ADIS16465
下图是是ADI的一款6轴MEMS IMU的数据手册,型号是ADIS16465,手册中给出的噪声参数如下:
2. Angular Random Walk:
另外还可以看到其零偏重复性是
下图是ADIS16465静置2.5小时
从上式可知:
所以和数据手册中的Angular Random Walk相差不大。
下面看零偏不稳定性,斜率为
可以看到和数据手册也相差不大,因为艾伦方差只能当成一种粗略的参数辨识手段,所以为了方便识图,这里当成
下面看角速率随机游走参数,这里看横坐标为
另外图中显示的数据平均值为
下图是ADIS16465的加速度计参数
ADIS16465数据手册-加速度参数下面是加速度三个轴的艾伦方差曲线,纵坐标单位为g,从图中可以看出,横坐标
所以
即约等于
如果是用单位
横坐标为
2. ADIS16470
下图是ADIS16470静置2小时
数据手册参数如下:
2. Angular Random Walk:
下图是ADIS16470的加速度计噪声参数。
ADIS16470数据手册-加速度计下图是ADIS16470的加速度艾伦方差曲线,可以看到横坐标
如果是用单位
当横坐标为
3.某型号光纤惯导
下图是光纤陀螺静置1.5个小时的采样数据,采样率为
另外从光纤陀螺的的数据均值可以看出,相比Mems陀螺仪的零偏重复性已经非常小了,图中的均值并不能反映零偏,因为没有去除地球自转角速度在
10s平滑计算零偏不稳定性
国军标中常用10s平滑方法计算零偏不稳定性,这里比较下它和艾伦方差在计算零偏稳定性之间的数值差异。10s平滑主要思路是每10s计算下均值,再计算这些均值的方差,例如有1000s的数据,需要计算100个均值,并求这100个均值的方差。主要参考代码如下:
for
2. ADIS16470的10s平滑结果为:
3. ADIS16465的10s平滑结果为:
可看到10平滑方法计算出来的零偏稳定性相对艾伦方差较大,不知道有没有理论证明。
下面是加速度计的10s平滑结果:
实际上光纤惯导中的加速度计是Mems加速度计,可以看到和ADIS16465中的加速度计性能大致相当。
参考文献