Astar算法

1.什么是Astar算法？

Astar算法是一种图形搜索算法，常用于寻路。它是个以广度优先搜索为基础，集Dijkstra算法与最佳优先(best fit)算法特点于一身的一种算法。

它通过下面这个函数来计算每个节点的优先级，然后选择优先级最高的节点作为下一个待遍历的节点。优先级函数：

其中：

1.g(n) 是节点n距离起点的代价。

2.h(n)是节点距离终点的预计代价，也就是A*算法的启发函数。

A*算法伪代码如下：

//使用open_set、close_set来表示待遍历和已遍历的节点集合

open_set = PriorityQueue()//使用优先队列，每次选取优先级最高的节点
open_set.put(start,0)//将起点加入open_set
close_set = {} //close_set,顺便记录节点距起点的代价
came_from = {} //记录节点的父节点
came_from[start] = None

while(!open_set.empty()))//当待遍历节点集合不为空时循环
{
    current = open_set.get()//取出优先级最高的节点
    
    if(current == goal)
    {
        //找到终点后，返回路径（此处省略）
        break
    } 
    
    
    for next in graph.neighbors(current)//遍历当前节点的邻近节点
    {
        new_cost = close_set[current] + graph.cost(current,next)//计算next节点的代价
        if(!close_set.contain(next) or new_cost < close_set[next])//如果next节点不在close_set中（未遍历过）或者有更小的代价
        {
            close_set[next] = new_cost //更新代价
            priority = new_cost + h(n) //使用g(n)和h(n)计算优先级
            open_set.put(next,priority)//将next节点加入open_set中
            came_from[next] = current //设置其父节点
        }
    }
}

 2.启发函数会影响A*算法的行为：

        1.在极端情况下，当启发函数h(n)始终为0，则由g(n)来决定节点的优先级，此时算法就退化成了Dijkstra算法。

        2.在另一个极端情况下，如果h(n)相较于g(n)大很多，则此时只有h(n)产生效果，这也就变成了最佳优先搜索。

        3.如果h(n)始终小于等于节点n到终点的代价，被称为可接受启发式的A*，则A*算法一定保证能够找到最短路径。但是当h(n)的值越小，算法遍历越多的节点，导致算法越慢。

        4.如果h(n)完全等于节点n到终点的代价，则A*算法将找到最佳路径并且速度很快。但是很难做到这一点，因为很难确切算出距离终点还有多远。

        5.如果h(n)的值比节点n到终点的代价要大，则A*算法不能保证找到最短路径，不过此时会很快。

        由上面这些信息我们可以知道，通过调节启发函数我们可以控制算法的速度和精确度。因为在一些情况，我们可能未必需要最短路径，而是希望能够尽快找到一个路径即可。这也是A*算法比较灵活的地方。

3.对网格形式的图，有以下这些启发函数可以使用：

1.如果图形中只允许朝上下左右四个方向移动，则可以使用曼哈顿距离（Manhattan distance）。

2.如果图形中允许朝八个方向移动，则可以使用对角距离。

3.如果图形中允许朝任意方向移动，则可以使用欧几里得距离。

曼哈顿距离：

        如果图形中只允许朝上下左右四个方向移动，则启发函数可以使用曼哈顿距离，它的计算方法如下图所示：

         计算曼哈顿距离的函数如下，这里的D是指两个相邻节点之间的移动代价，通常是一个固定的常数：

function heuristic(node)
    local dx = abs(node.x-goal.x)
    local dy = abs(node.y-goal.y)
    return D * (dx + dy)
end

对角距离：

        如果图形中允许斜着朝邻近的节点移动，则启发函数可以使用对角距离。它的计算方法如下：

         计算对角距离的函数如下，这里的D2指的是两个斜着相邻节点之间的移动代价。如果所有节点都正方形，则其值就是：

function heuristic(node)
    local dx = abs(node.x-goal.x)
    local dy = abs(node.y-goal.y)
    return D * (dx + dy) + (D2 - 2 * D) * min(dx,dy)
end

欧几里得距离：

        如果图形中允许朝任意方向移动，则可以使用欧几里得距离。

        欧几里得距离是指两个节点之间的直线距离，因此其计算方法也是我们比较熟悉的：

         其函数表示如下：

function heuristic(node) =
    local dx = abs(node.x-goal.x)
    local dy = abs(node.y-goal.y)
    return D * sqrt(dx * dx + dy * dy)
end

 4.算法变种

ARA*

        ARA*全称是Anytime Repairing A，也称为Anytime A

D*

Field D*

Block A*