sinx泰勒展开_求极限：泰勒公式应展开到第几阶？

摘要：等价无穷小应如何正确应用？泰勒展开应该展开到第几阶？

一、常用的等价无穷小

等价无穷小

然而，考试通常不会有这么简单的题目！我们从一道经典例题说起

例1：求极限：

错解：等价无穷小

, 因此

错误分析：等价不是相等！

例如：银行卡余额为500000元（sinx），扶个老太太的成本499995元！多出的5块，相当于高阶无穷小量，相对于50万可以忽略不计！但若扶了老太太再买个雪糕2块就不能忽略了（x^3）

等价的定义:

同济7高数上，P54

即，

。因此，实际上为

由高阶无穷小的定义，当

时，

都是

的高阶无穷小

同济7高数上，P53

因为,

，故

是

的高阶无穷小, 记作

;

因为,

, 故

是

的高阶无穷小, 记作

;

因为,

, 故

是

的高阶无穷小, 记作

;

综上，

，无法判断。此题

的精度不够。

例2：求极限:

分析：由等价无穷小

, 因此

此解答在考研范围是错误的！

解答：极限定义：函数

在点

的某一去心领域内有定义......！

同济大学高等数学第七版上册，P28

当

时，总存在点

使得

，即分母等于0， 也即

在该点无意义！不满足极限的定义，因此极限不存在！

例3：求极限:

解：

类型（

）：先取对数

，再等价

注：

可以认为是因为满足极限的四则运算，而我个人更偏向于精度够了。

即，

。因此，

问题：等价无穷小什么时候能用？

二、泰勒公式

常用的泰勒公式

例1：求极限：

正解：

例4：求极限：

错解：等价无穷小

, 因此

错误分析：

, 即

这是因为，

阶的估计—潘承洞，P7

因此,

类似例1，

正解：泰勒公式：

小技巧：

都是

的高阶无穷小量，记作

. 我们在计算过程无需把

每一项全部列出来！

于是，我们可以得出结论：等价是否能用看等价的精度！

泰勒公式：

时，精度

, 即

正确！

错误!

时，精度

,

正确！

正确!

问：如何知道泰勒展开到第几阶？

答：如例4，分母为

, 则极限中的每一个函数应展开为

例5：求极限 ：

分析：分母为

, 因此展开至

即可。

解答：

小技巧：我们知道

, 而题目需

，只需

例6：求极限：

解： 诱导公式：

例7：求极限:

.

解：

型：先取对数化为

型，提公因式

尝试过拆项，失败。直接暴力泰勒（计算量巨大）。

注意到：

，

以及

类似(肯定也有这么长，直接上WolframAlpha了)，

进而可得：

注：此解法并不是最优的，此处仅作为暴力展开的示例。予一人给出了更简洁的解法。

这个极限题应该怎么做呢？​www.zhihu.com

2019张宇高等数学18讲，P42