代数结构

群

群是最基本的代数结构，其来源于Galois对方程根的对称性的研究。实际上，代数一词就含有解方程的意思。

群是一个配备有二元运算$\cdot :G\times G\to G$的集合$G$，满足封闭性、结合性、含单位元以及每个元素有逆元。

1. 封闭性通常是暗含在二元运算定义中的。
2. 结合性通常是默认成立的。

阿贝尔群

若在群的基础上，二元运算还满足交换律，则称该群为交换群或阿贝尔群(abelian group)。

半群

如果将群的限制放宽一些，不要求其一定含单位元和逆，就得到半群(semi-group)。

独异点

含有单位元的半群称为幺半群或独异点(monoid)。

域

集合$F$上配备两种运算，不妨称为"加法"和"乘法"。若该集合满足以下条件：

• 对加法构成阿贝尔群
• $F-\{0\}$对乘法也构成阿贝尔群
• 乘法对加法有分配律

则称该集合连同其上配备的两种运算为域。

不难看出，域是对四则运算的一种刻画。有理数域、实数域、复数域则是域最为常见的例子。然而整数并不能构成域，究其原因，是因为整数除法存在除不尽的情况，换言之，在整数的情况下，乘法未必有逆元。

环

无乘法逆元的域称为整环(Integral Domain)。更广义地说，如果集合$F$上配备两种运算，不妨称为"加法"和"乘法"。若该集合满足以下条件：

• 对加法构成阿贝尔群
• 对乘法构成半群
• 乘法对加法有分配律

则称该集合连同其上配备的两种运算为环。
含乘法幺元的环称为幺环。
乘法可交换的环称为交换环。
满足消去律的环称为无零因子环，这等价于$F-\{0\}$对乘法封闭，或者（进一步地）形成半群。

整环是无零因子交换幺环。
含乘法逆元的无零因子幺环（$F-\{0\}$对乘法形成群）称为除环（或体/斜体/斜域/反称域）。交换除环即是域。

阿贝尔群的所有自同态构成一个环，称为自同态环。

理想

环的一个子集$I$称为环的一个理想，若其在环的加法下自成一群，且环中元素与$I$中元素的乘积仍在$I$中。理想是形如$n\mathbb{Z}$这样的子集的一般化。
理想可以看成是环同态的核。

主理想

给定一个环的子集$S$，一般来说$S$不一定是理想。这时可以向其中添加元素直到其满足理想的要求，这个理想就称为由集合$S$生成的理想，记作$<S>$。
换句话说，由$S$生成的理想是包含$S$的最小理想，也是所有包含$S$的理想之交。
如果$S$为单元素集$\{a\}$，则称由该元素生成的理想$<a>$为主理想。
每个理想都是主理想的环称为主理想环，如果一个主理想环同时还是整环，则称之主理想整环(Principal Ideal Domain)。

向量空间

域$F$上的一个向量空间$V$是一个阿贝尔群，且$F$对$V$的数乘满足分配律和结合律(相容)。

模

如果将域$F$换成环$R$，则该向量空间称为模。
若$M$是$R$上的模，则$R$中的元素$r$对$M$中元素$x$的数乘表示为映射$f_r:M\to M$，它将每个$x$映射为$rx$。显然该映射是阿贝尔群$M$的群自同态。记$M$的全体自同态的集合为$En{d}_R(M)$，可以证明该集合在加法与复合作用下形成一个环。

称环同态$f:R\to En{d}_R(M)$为环$R$在阿贝尔群$M$上的一个表示，有$f:r\mapsto f_r$。

这给出了模的另一种等价定义，即$R$上的模$M$是这样一个阿贝尔群，$R$到其自同态环的环同态构成$R$的一个表示。

代数

配备了双线性映射的向量空间(模)称为代数。

参考资料

• https://www.zhihu.com/question/37804722