NEUQ-acm预备队训练Week2-二分查找/答案

1 什么是二分法呢

顾名思义，类似于区间套定理，数组{an}在区间[a,b]上，另mid=(a+b)/2平分区间，若mid>a，则另b=mid，否则a=mid…由此下去即可套出一个区间套，那么我们要查找的数就可以通过这种方法找到，当然，若a=b了，我们就可以认为该数组中没有我们要查找的数。
注：本次习题来自于洛谷

习题 P2249 【深基13.例1】查找

题目描述

输入 $n$ 个不超过 $10^9$ 的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，然后进行 $m$ 次询问。对于每次询问，给出一个整数 $q$，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号，如果没有找到的话输出 $-1$ 。

输入格式

第一行 $2$ 个整数 $n$ 和 $m$，表示数字个数和询问次数。

第二行 $n$ 个整数，表示这些待查询的数字。

第三行 $m$ 个整数，表示询问这些数字的编号，从 $1$ 开始编号。

输出格式

输出一行，$m$ 个整数，以空格隔开，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6

样例输出 #1

1 2 -1

提示

数据保证，$1\le n\le 10^6$，$0\le a_i,q\le 10^9$，$1\le m\le 10^5$

本题输入输出量较大，请使用较快的 IO 方式。

代码

#include 
using namespace std;
const int Max=1e6+5;
int n,m,a[Max];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  cin >> a[i];

    for(int i = 0; i < m; i++){
        int b;
        cin >> b;
        int l=1, r=n;
        int ans=-1;
        while(l<r){
             int mid=(l+r)/2;
            if(a[mid]>=b){
                r=mid;
            }
            else l=mid+1;
            if(a[l]==b) ans=l;
        }  
        cout << ans << " ";
        }
       
}

注意

因本题给出的数组中有相同的元素，且要求输出最小的下标，故我们不能直接用二分法找到后就输出，需要判断找到的位置前还有没有相同的数，那么可以采用输出区间左端点，即我们所找的点是下标为l的数。

2.二分答案

二分答案的前提：答案在一个区间内；容易判断答案可行性；单调
特征：最大的最小，最小的最大

习题 P1824 进击的奶牛

题目描述

Farmer John 建造了一个有 $N$($2$ $\le$ $N$ $\le$ $100000$) 个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是 $x_1$ ,…,$x_N$
(0 $\le$ $x_i$ $\le$ $1000000000$)。

他的 $C$($2$ $\le$ $C$ $\le$ $N$) 头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John 想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？

输入格式

第 $1$ 行：两个用空格隔开的数字 $N$ 和 $C$。

第 $2$ ~ $N+1$ 行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。

输出格式

输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。

样例输入 #1

5 3
1 
2 
8 
4 
9

样例输出 #1

3

代码

#include 
using namespace std;
const int Max=1e5+5;
int n,c,a[Max];
int check(int mid){
    int x=a[1], y=1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(a[i]>=x+mid){
            y++;
            x=a[i];
        }
    }
    return y>=c;
}
int main(){
    cin >> n >> c;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  cin >> a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int l=0, r=1e9, ans=1;
    int x=check(2);
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)!=0){
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }
        else  r=mid-1;
    // cout << mid << "(" << l << " " << r << ")" << endl; 
    }
    cout << ans << endl;
}

注意：需要先把数组a中的数从小到大排好序，否则check(mid)时会出错，例如样例中所给次序12849，如果调用check(2)，会返回false，很明显，应该返回true的。

进阶版

习题 P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 $N$ 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 $M$ 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 $L,N,M$，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 $L\ge 1$ 且 $N\ge M\ge 0$。

接下来 $N$ 行，每行一个整数，第 $i$ 行的整数 $D_i(0<D_i<L)$， 表示第 $i$ 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

样例输入 #1

25 5 2 
2
11
14
17 
21

样例输出 #1

4

提示

输入输出样例 1 说明

将与起点距离为 $2$和 $14$ 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 $4$(从与起点距离 $17$ 的岩石跳到距离 $21$ 的岩石,或者从距离 $21$ 的岩石跳到终点)。

数据规模与约定

对于 $20\%$的数据，$0\le M\le N\le 10$。
对于 $50\%$ 的数据，$0\le M\le N\le 100$。
对于 $100\%$的数据，$0\le M\le N\le 50000,1\le L\le 10^9$。

思路

选择验证法推出答案
二分法求最短跳跃距离的最大值
验证满足二分的mid时，需要拿走的最小石头数是否不大于需要拿走的数，如果是，那么此时的mid可行的一个解，记录，然后继续二分，再验证… …

代码

#include 
using namespace std;
const int Max=5e4+5;
int l,m, n, ans;
int a[Max];
int check(int mid){
    int y=0;  //以当前的mid为最短跳跃距离需要移走的石头的数
    int x=0;  //目前所处的石头的位置
    for(int i = 1; i <= n+1; i++){
        if(a[i]-x< mid) y++;  //不满足最短跳跃mid，拿走石头
        else  x=a[i];  //满足了，跳过去
    }
    return y<=m;  //拿走的数不大于要求拿走的数
}

int main(){
    cin >> l >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  cin >> a[i];
    a[n+1]=l;
    int ll=0, r=l;
    while(ll<=r){
        int mid=(ll+r)/2;
        if(check(mid)){
            ans=mid;
            ll=mid+1;
        }
        else  r=mid-1;
    }
    cout << ans << endl;
}

注意：第一块石头位置是0，可不放在数组中，但最后一块需要放在数组中
另外check()函数中$y$只要小于等于$m$即可，不必一定==，因为如果是小于，我们只需在不影响最短距离的那两块石头之外，随便拿$m-y$ 个即可。举个例子：

25 5 2 
11
14
17 
21

$mid=3$时，$y=1$，即拿走的是14，这时再拿一块儿11 or 17 就可以啦