NEUQ-acm 预备队训练Week7—动态规划问题（DP）

DP

动态规划问题：01背包，最长上升子序列，区间dp，概率dp
递推：拆分成子问题，解决原问题

P1048 [NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例输入

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
• 对于全部的数据，$M\le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

思路

1.记忆化搜索
考虑第$i$个草药
如果采第$i$个草药，则需要知道时间为$j-t_i$之前采了$i-1$个草药所得到的最大价值
如果不采第$i$个草药，则需要知道时间为$j$之前采了$i-1$个草药所得到的最大价值
所以rem[i][j]来表示选择采前$i$个草药的几种在时间$j$内所能达到的最大价值
2.递推
$$rem[i][j]=\{\begin{array}{ll}rem[i-1][j]& \text{v[i] > j}\\ max(rem[i-1][j],rem[i-1][j-v[i]]+t[i])& \text{v[i] ≤ j}\end{array}$$
起始条件 $rem[0][j]=0$

代码1 递归

#include 
using namespace std;
int T, M;
struct Cao{
    int time;
    int value;
    bool operator< (Cao b){
        return time > b.time || (time==b.time && value > b.value);
    }
    bool operator> (Cao c) const{
        return time > c.time || (time==c.time && value > c.value);
    }
}C[105];
int ans;
int res[105][1005];
int dfs(int i, int j){
    if(res[i][j]!=-1) return res[i][j];
    if(i==0) ans=0;
    else if(C[i].time > j)  ans=dfs(i-1, j);
    else  ans = max(dfs(i-1, j), dfs(i-1, j-C[i].time)+C[i].value);
    res[i][j]=ans;
    return ans;
}

int main(){
    cin >> T >> M;
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        cin >> C[i].time >> C[i].value;
    }
    memset(res, -1, sizeof(res));
    sort(C+1, C+M+1, greater<Cao>());
    dfs(M, T);
    cout << ans;
}

注意：大于号重载时要加const，否则编译错误~

代码2 递推

#include 
using namespace std;
int T, M;
struct Cao{
    int time;
    int value;
}C[105];
int ans;
int res[105][1005];
int main(){
    cin >> T >> M;
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        cin >> C[i].time >> C[i].value;
    }
    memset(res, 0, sizeof(res));
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        for(int j = 0; j <= T; j++){
            res[i][j]=res[i-1][j];
            if(j >= C[i].time)
                res[i][j]=max(res[i][j], res[i-1][j-C[i].time]+C[i].value);
        }
    }
    cout << res[M][T];
}

B3637 最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

4

提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

思路

考虑第$i$个是否可以加入到上升子序列
遍历前$i-1$个，如果当前数大（可以加入上升子序列中），则比较当前的子序列与构成的新子序列谁的元素多，并更新
选取最长的上升子序列

代码

#include 
using namespace std;
int res[5005];
int list1[5005];
int n;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)  cin >> list1[i];
    for(int i = 0; i < n; i++) res[i]=1;
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < i; j++){
            if(list1[i]>list1[j]) res[i]=max(res[i], res[j]+1);
        }
    }
    sort(res, res+n);
    cout << res[n-1];
}

P1115 # 最大子段和

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例输入 #1

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出 #1

4

提示

样例 1 解释

选取 $[3,5]$ 子段 $\{3,-1,2\}$，其和为 $4$。

数据规模与约定

• 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n\le 2\times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 2\times 10^5$，$-10^4\le a_i\le 10^4$。

思路

递推，考虑第$i$个的最大子序列和
发现只与第$i-1$个有关
比较把第$i$个加入子序列和把第$i$个当作第一个子序列元素，哪一个和最大

代码

#include 
using namespace std;
const int Max = 2*1e5+5;
int n;
int list1[Max];
int res[Max];
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin >> list1[i];
    }
    memset(res,0,sizeof(res));
    res[0]=list1[0];
    for(int i = 1; i < n; i++){
        res[i]=max(res[i-1]+list1[i],list1[i]);
    }
    sort(res,res+n);
    cout << res[n-1];
}

AT_dp_f 最长公共子序列

题目描述

给定一个字符串 $s$ 和一个字符串 $t$ ，输出 $s$ 和 $t$ 的最长公共子序列。

输入格式

两行，第一行输入 $s$ ，第二行输入 $t$ 。

输出格式

输出 $s$ 和 $t$ 的最长公共子序列。如果有多种答案，输出任何一个都可以。

样例输入 #1

axyb
abyxb

样例输出 #1

axb

样例输入 #2

aa
xayaz

样例输出 #2

aa

样例输入 #3

a
z

样例输出 #3

样例输入 #4

abracadabra
avadakedavra

样例输出 #4

aaadara

说明/提示

数据保证 $s$ 和 $t$ 仅含英文小写字母，并且 $s$ 和 $t$ 的长度小于等于3000。

思路

二维数组res[i][j] a的前$i$个元素和b的前$j$个元素中，最长公共子序列的长度。
递推：
$$res[i][j]=\{\begin{array}{ll}rem[i-1][j-1]+1& \text{a[i]=b[j]}\\ max(rem[i-1][j],rem[i][j-1])& \text{a[i]=b[j]}\end{array}$$
难点：得到子序列元素
如果a[i]=b[j] ,那么刚好这个元素就是当前子序列第res[i][j]个的元素；
如果不相等，看res[i][j]是从哪来的，就退回去，直到上一条件的时候

代码

#include 
using namespace std;
const int Max = 3005;
int res[Max][Max];
string a,b;
char ans[Max];
int main(){
    cin >> a;
    cin >> b;
    int na = a.length();
    int nb = b.length();
    memset(res, 0, sizeof(res));
    for(int i = 1; i <= na; i++){
        for(int j = 1; j <= nb; j++){
            if(a[i-1]==b[j-1]){
                res[i][j] = res[i-1][j-1]+1;
            }
            else{
                res[i][j] = max(res[i-1][j], res[i][j-1]);
            }
        }
    }
    int num = res[na][nb];
    while(res[na][nb]>0){
        int ind = res[na][nb];
        if(a[na-1]==b[nb-1]){
            ans[ind-1] = a[na-1];
            na--;
            nb--;
        }
        else{
            if(res[na][nb]==res[na-1][nb]) na--;
            else nb--;
        }
    }
    for(int i = 0; i < num; i++){
        cout << ans[i];
    }
}

记录一个经常犯得小错误：总把 $j$ 写成 $i$ （太致命啦~）