【数据结构】线性表

2.1 线性表的定义和特点

由n个相同类型数据元素组成的表称作线性表

类似于数组，a1是数组的第一个元素an为最后一个元素。

2.1.1 线性表的定义

由 n(n >= 0) 个数据元素（结点）a1,a2,…an组成的有限序列。

• 其中数据元素的个数 n 定义为表的长度。
• 当 n = 0 (表中没有元素) 时称为空表。
• 将非空的线性表（n > 0）记作：（a1,a2…an）。
• 这里的数据元素ai（1 <= i <= n）只是一个抽象的符号，其具体含义在不同的情况下可以不同。

线性表的例子

【例1】分析26个英文字母组成的英文表（A,B,C,D…Z）

• 数据元素都是字母。
• 元素之间的关系是线性：除了A（表头）和 Z（表尾）其他的字母前后都各有一个字母。
• 字母的前后关系不能翻转。

【例2】分析学生情况登记表

每一行的学生信息就是数据元素

总结：

• 同一线性表中的元素必定具有相同特性，（字母表中就都是字母，学生表中就都是学生信息）
• 数据元素之间的关系是线性关系。

2.1.2 线性表的逻辑特征

在非空的线性表

• 有且仅有一个开始结点a1，它没有直接前趋，而仅有一个直接后继a2.
• 有且仅有一个终端结点an，他没有直接后继，而仅有一个直接前趋an-1
• 其余的内部结点ai(2 <= i <= n-1)，都有且仅有一个直接前趋 ai-1，和一个直接后继 ai+1

线性表是一种典型的线性结构

2.2 线性表的应用案例

2.2.1 一元多项式的运算：

• 实现两个多项式 加、减、乘运算。

把这个多项式每一项的系数拿出来，做成一个线性表。
每一项的指数，就用系数的下标来表示，（下标为0指数就是0，下标为1指数就是1…）。
线性表 P = (P0, P1, P2… pn)，系数就可以用数组来存储了。

• 如果给的是个稀疏多项式呢？

  • S(x) = 1 + 3x ^ 10000 + 2x ^ 20000
  • 如果这样的多项式还像上面那样来表示，指数（下标i）就要一直跑到20000去了，这样会造成很大的浪费。
  • 所以只需要记录下每一项的系数是对应多少指数的就可以了，只需要记录系数不为0的项。
    

2.2.2 稀疏多项式的计算

只将系数不为0的每一项的系数和指数存储起来
线性表P = ((p1,e1),(p2,e2),...(pm,em))

A和B的线性表的内容看起来就像是用二维数组存储了起来。

求这两个多项式的和：

线性表A = ((7,0),(3,1),(9,8),(5,17))
线性表B = ((8,1),(22,7),(-9,8))

• 创建一个新数组C
• 分别从头遍历比较a和b的每一项。
  • 指数相同，对应系数相加，若其和不为0，则在c中增加一个新项。
  • 指数不相同，则将指数交小的项复制到c中。
• 一个多项式已经遍历完毕时，将另一个圣域项依次复制到C中即可
  

1. 先把AB两个数组的第一个元素的指数比较，A里面存的指数是0，比较小，先把A的第一个元素（7,0）存到C数组中，A的第一项去掉不再参与计算。
   

2. 将A的第二项(3,1)和B的第一项(8,1)的指数比较，指数相同(1)，则系数相加存入C，指数不变存入C，这两项去掉。
   

3. 再将A的(9,8)和B的(22,7)比较，B的指数比较小，将(22,7)存入C数组，然后去掉不再参与计算。
   

4. 将A的(9,8)和B的(-9,8)比较，指数相同，则系数相加，系数相加为0，则这两项都删掉且不存入C数组。
   

5. 最后将剩下的最后一项存入数组C中，至此计算完毕。
   

数组C应该多大？

• 最多，线性表A和B的每一项的指数都不同，那么数组C就要7项。
• 最少，A和B每一项的指数都相同，且系数为相反数，那么结果就刚好是0项
• 给C的空间如果多了有可能浪费，少了就有可能放不下，这个时候就需要用到链式存储结构了。

顺序存储结构存在的问题

• 存储空间分配不灵活
• 运算的空间复杂度高

链式存储结构

不用数组来存储A和B的数据元素，不占用一块连续的空间，用链表的方式来存储，运算的时候需要多少就用多少空间。

2.2.3 图书信息管理系统

需要的功能：查找 、插入 、 删除 、修改 、排序 、计数

• 图书表可以抽象为线性表（顺序表或链表）。
• 表中每本图书抽象为线性表中的数据元素。

总结

• 线性表中数据元素的类型可以为简单类型，也可以为复杂类型
• 许多实际应用问题所涉及的基本操作有很大相似性，不应该为每个具体应用单独编写一个程序。
• 从具体应用中抽象出共性的逻辑结构和基本操作（抽象数据类型）。然后实现其存储结构和基本操作。

2.3 线性表的类型定义

抽象数据类型线性表的定义：

2.3.1 基本操作

• 初始化线性表 (lnitlist(&L))

  • 操作结果：构造一个空的线性表L

• 销毁线性表（DestoryList(&L)）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在。
  • 操作结果：销毁线性表 L，内存中再没有这个线性表。

• 清除线性表（ClearList(&L)）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在。
  • 操作结果：将线性表 L 里面的内容重置。

• 判断线性表是否为空（ListEmpty(L)）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在。
  • 操作结果：如果线性表为空表（表里面没有元素），则返回TURE，反之返回FALSE。

• 求线性表长度 （ListLength(L)）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在。
  • 操作结果：返回线性表 L 中的数据元素的个数。

• 获取线性表元素（GetElem(L,i,&e)）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在，取第 i 个元素，i 的取值范围，1 <= i <= 线性表长度（第一个元素合和最后一个元素之间）
  • 操作结果：用 e 接收线性表 L 中第 i 个数据元素的值。

• 查找和定位元素（LocateElem(L,e,compare())）

  • 初始条件：线性表 L 已经存在，compare()是数据元素判定函数，找大于小于或等于 e 的元素。
  • 操作结果：返回 L 中第一个与 e 满足copmare()的数据元素的位序，若这样的数据元素不存在则返回值0.
  • 个人理解敲了段用二分法查找某个数字的代码

int compare(int* L,int e,int sz)
{
        int left = 0;
        int right = sz -1;

        while(left <= right)
        {
                int mid = (left + right) / 2;
                if(e < L[mid])
                {
                        right = mid -1;
                }
                else if(e > L[mid])
                {
                        left = mid + 1;
                }
                else
                {
                        return mid;
                }
        }
        return 0;
}
int main()
{
        int e = 6;
        int L[]= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
        int sz = sizeof(L)/sizeof(L[0]);

        if(compare(L,e,sz))
        {
                printf("找到了，下标是%d\n",compare(L,e,sz));
        }
        else
        {
                printf("找不到了\n");
        }
        return 0;
}

• 获得元素的前趋（PriorElem(L,cur_e,&pre_e)）
  • 初始条件：线性表 L 已经存在
  • 操作结果：若cur_e是L的数据元素，且不是第一个，则用pre_e接收它的前趋（前一个元素），反之操作失败，pre_e无意义。
• 获得元素的后继（NextElem(L,cur_e,&next_e)）
  • 初始条件：线性表 L 已经存在
  • 操作结果：若cer_e是 L 的数据元素，且不是最后一个，则用 next_e 接收它的后继，反之操作失败，next_e无意义。
• 在线性表中插入一个元素（Lisrinsert(&L,i,e)）
  • 初始条件：线性表 L 已经存在，插入位置范围 1 <= i < =Listlength(L)+1,可以在第一个位置插入，也可以插入在最后一个元素之后。
  • 操作结果：在 L 的第 i 个位置之前插入新的数据元素 e ，L的长度加一。
    
• 删除第 i 个元素（ListDlete(&L,i,&e)）
  • 初始条件：线性表 L 已经存在，删除元素 i 的位置， 1<= i <= ListLength(L)，从第一个到最后一个元素。
  • 操作结果：删除 L 的第 i 个数据元素，并用 e 接收被删除的值，L 的长度减一。
    
• 编历每个元素（ListTraverse(&L,visited())）
  • 初始条件：线性表 L 已经存在
  • 操作结果：依次对线性表中每个元素调用visited()访问一线。