离散傅里叶变换 - 快速计算方法及C实现 - 第一篇

DFT – Fast algorithms and C implementations - Part1

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引言

算法中经常用到傅里叶变换，很长一段时间我都是使用FFTW（"the fastest fft library in the west", 一个基于fortran语言的fft算法库，该库也为Matlab以及intel MKL两个计算软件提供傅里叶算法，非常牛叉。但是最近我多次发现因为在项目中使用FFTW导致程序莫名其妙的运行错误，花了我很长时间才将错误定位出来，在于fftw_plan的创建过程存在一些隐藏的玄妙。在调试代码以及研究算法的过程中，我一般只需要单线程，或者单实例，但是在工程部署中基本上都需要多线程和多实例同时运行，如果一个程序中包含多个并行的检测器/跟踪器，这些子程序又都需要独立调用fftw，问题就发生了。网上有说法是fftw_plan的创建不能在多线程中同时进行，不过我的问题似乎有点难以理解，比如同样的程序在windows下一般都没问题，在Ubuntu下有可能会出问题，在TX2上总是会出问题，搞得我很崩溃。

自己写FFT实现的想法由来已久，原因有三：（1）对fftw内部的报错有些难以理解，大大增加我的算法的工程部署难度；（2）想要算法完全可控：fftw内部好像会自动调用多线程，或者需要在编译的时候需要增加多线程开关选项，但是如果我想在一个程序中某些fft过程中调用多线程、某些fft过程不调用多线程，就难以实现，因为fftw没有为各个fft函数增加线程开关；（3）程序源代码完全封闭：经过我之前的努力，我已基本将opencv的常见功能用自己编写的C代码替代了，效率相比oepncv有一定的提升，目前唯一的遗憾是fft这一块还要依赖fftw库，虽然fftw也是跨平台的，但是windows下使用只能通过官网下载dll和lib，Ubuntu下也是需要安装一个deb包，几乎无法通过下载源码编译，而且源码是fortran的，不编译成库没法在C中调用。

自己写fft难度很大。如果只是实现fft的功能，那实在简单，按照公式直接两个for循环就搞定了，但是fft的计算其实有太多的技巧在里面，这些技巧并不是信手拈来的，而是通过复杂的数学推导得出来的复杂的计算公式。最近查了一些资料，Winograd的经典论文"On Computing the Discrete Fourier Transform"(1978)，Springer出版的图书"Fast Fourier Transform: Algorithms And Applications"(2010)，国内出版的图书"快速傅里叶变换及其C程序"(2004)。粗略扫了扫，都没看懂（cry...），另外还找了些网络教材，比如傅里叶变换的矩阵分析、FFT快速傅里叶变换（蝶形算法）详解、FFT快速傅里叶变换的工作原理。不得不感慨一句：真TM难！去年还是前年，商汤来我们学校做了一个专场报告，现场我找他们的技术总监问了一下他们有没有傅里叶算法，回复说他们之前也尝试写fft，用了几个月，发现还是不如fftw快，然后就放弃了，最后是用了买的MKL库。我以前重写过开源C库kissfft，写得很痛苦，因为当时并不懂它的计算原理，只能完全按照它的步骤来，虽然我重写的版本比原版快了不少（内存优化、使用SSE），但是不得不承认，跟fftw/matlab（据说也是调用的fftw）/MKL（应该是目前CPU上最快的fft算法了，可以看作是针对英特尔CPU优化过的fftw）相比，差了不止一个量级。然后我把这个我自己写的fft算法用在了LayeredKCF程序里面，这是我第一个无任何依赖库的的完整C++程序，做目标跟踪的。注：GPU方法不在讨论范围。

最近因为一度在工程部署中被fftw耽误了很多时间，后来临时通过使用opencv替换了相关功能（效率低且没有我想要的接口），促使我决定再写一个fft算法，即使慢一点，我也要想程序完全可控。

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基础知识

1. DFT的定义

N长序列的DFT为，其中：

上面的是虚数单位：。

2. 欧拉公式

欧拉公式：。因此：

比如：

3. 离散函数的基本性质：

（1）以为周期：

（2）具有共轭对称性：

其中表示对一个复数取共轭（实部不变，虚部取反）。

从而：

(3) 将的上下标同时乘以一个数，结果保持不变：

比如：

4. DFT的基本性质

（1）标量的DFT

如果序列长度为1（称为标量；长度大于1的序列可以称为一个向量），则它的DFT等于其本身。

（2）inverse DFT

逆傅里叶变换(inverse DFT)与正向傅里叶(forward DFT)的区别仅仅是傅里叶系数由变成了：

对上式两边求共轭，由于“乘积的共轭=共轭的乘积”，即，因此：

因此，为了求一个复序列的inverse DFT，可以先对序列的每个元素分别求共轭，然后执行forward DFT，再对结果的每一个元素分别求共轭即可。求共轭不需要进行任何加减运算，只需要一次逻辑操作即可，因此极为便捷，在后面代码部分将会详细介绍。

（3）2d DFT 

由于DFT是线性运算，因此二维DFT可以视为两个一维DFT的复合函数，参见《快速傅里叶变换及其C程序》P253:

简言之：二维DFT = 先对每行分别进行DFT + 再对每列分别进行DFT = 先对每列分别DFT + 再对每行分别DFT

（4）radix-2 DFT

基-2 离散傅里叶变换是快速傅里叶变换（FFT）的重要内容，也是蝶形算法的核心。下面我们简单推导一下radix-2 DFT算法：

前提假设：N可以被2整除

首先对DFT公式按奇偶项进行拆分：

由于，故而：

令分别为N/2长序列和序列的DFT，则：

对任意k

因此的前一半可以通过的线性组合来得到。对于的后一半：

其中用到了

则对任意k

可以看到，一个N长DFT可以分解成两个N/2长DFT的线性组合，其中两个子序列分别是原始序列的偶数项以及奇数项组成的序列。

（5）1d real dft

一维实数序列的离散傅里叶变换可以有不同的方式进行实现，最基本的就是构造一个同样长度的复数序列，实部与实数序列相同，虚部全部为0. 当实序列的长度N为偶数时，则存在更加有效的计算方法，参见《快速傅里叶变换及其C程序》P75：

意思就是说，一个偶数长的实序列的DFT可以这么做：构造一个N/2长的复数序列，其中第k项由原来的实序列的第k个偶数作为实部、以原序列第k个奇数作为虚部。然后对这个复数序列求DFT，再根据DFT结果来恢复两个单独的DFT序列——分别对应原实数序列的偶数子序列和奇数子序列。其中用到的一个原理就是：若为实序列，则

最后根据radix-2算法，既然我们已经知道了奇、偶子列的DFT，就可以恢复原序列的DFT了。

综上所述：

逆DFT、二维DFT、实数DFT，都可以通过一维复数DFT来高效率地实现，因此我们要解决的重点问题就是高效率地实现一维复数DFT。