测试
信号与系统
测试信号分析
测试信号处理
一个很好的参考,对FT、DFT的讲解
对于有限长度序列(一维信号),傅里叶变换,拉普拉斯变换,Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示
X ( e j ω ) = ∑ 0 n = N − 1 x ( n ) e j − ω n X(e^jω)= ∑^{n=N-1}_0 x(n) e^{j-ωn} X(ejω)=0∑n=N−1x(n)ej−ωn
X ( z ) = ∑ 0 n = N − 1 x ( n ) z − n X(z)= ∑^{n=N-1}_0 x(n)z^{-n} X(z)=0∑n=N−1x(n)z−n
X ( k ) = ∑ 0 n = N − 1 x ( n ) e − j k 2 π n N X(k)= ∑^{n=N-1}_0 x(n) e^{-jk\frac{2πn}{N}} X(k)=0∑n=N−1x(n)e−jkN2πn
离散傅里叶变换逆变换是
x ( n ) = 1 N ∑ 0 k = N − 1 X ( k ) e j k 2 π n N x(n)= \frac{1}{N}∑^{k=N-1}_0 X(k) e^{jk\frac{2πn}{N}} x(n)=N10∑k=N−1X(k)ejkN2πn
核函数多个负号,多一个参数 1 N \frac{1}{N} N1,也有更一致的形式(都乘 1 N \frac{1}{\sqrt{N}} N1)
Z变换注记:z域是s域的进一步映射,z变换和拉普拉斯变换通过某种映射连接在一起
欧拉公式: e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx
奇异函数: δ ( 0 ) = ∞ \delta(0)=\infty δ(0)=∞(1/dt)
∫ ∞ ∞ e ± j Ω t = 2 π δ Ω \int^{\infty}_{\infty}e^{\pm j\Omega t}=2\pi\delta{\Omega} ∫∞∞e±jΩt=2πδΩ
∫ δ ( t ) x ( t ) = x ( 0 ) \int \delta(t)x(t)=x(0) ∫δ(t)x(t)=x(0)
X ( K Ω 0 ) = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k Ω 0 t d t X(K\Omega_0)= \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} x(t) e^{-jk\Omega_0 t}dt X(KΩ0)=T1∫−2T2Tx(t)e−jkΩ0tdt
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 t x(t)= \sum^{\infty}_{k=-\infty} X(k\Omega_0) e^{jk\Omega_0 t} x(t)=k=−∞∑∞X(kΩ0)ejkΩ0t
频谱是离散的谱,所以不能使用积分进行反变换,换言之是通过 δ \delta δ函数将其梳开。
频谱间隔是 Ω 0 = 2 π T \Omega_0=\frac{2\pi}{T} Ω0=T2π,如果周期趋近于无限大就会变成连续谱
exp:周期方波函数的傅里叶级数: X ( k Ω 0 ) = A τ T s i n ( k Ω 0 τ / 2 ) k Ω 0 τ / 2 X(k\Omega_0)=\frac{A\tau}{T}\frac{sin(k\Omega_0\tau/2)}{k\Omega_0\tau/2} X(kΩ0)=TAτkΩ0τ/2sin(kΩ0τ/2),其中 τ \tau τ是窗宽,A是幅值
规律:时域连续周期、频域离散非周期。
存在条件: p o w e r : 1 T ∫ 0 T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ power: \frac{1}{T}\int _0^T |x(t)|^2dt < \infty power:T1∫0T∣x(t)∣2dt<∞
X ( j Ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X(j\Omega)= \int^{\infty}_{-\infty}x(t) e^{-j\Omega t}dt X(jΩ)=∫−∞∞x(t)e−jΩtdt
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j Ω ) e j Ω t d Ω x(t)= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} X(j\Omega) e^{j\Omega t }d\Omega x(t)=2π1∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ
可以认为 T → ∞ , Ω 0 → 0 , k Ω 0 → Ω T\rightarrow\infty,\Omega_0\rightarrow0,k\Omega_0\rightarrow\Omega T→∞,Ω0→0,kΩ0→Ω
exp:矩形窗函数: X ( k Ω 0 ) = A τ s i n ( Ω τ / 2 ) Ω τ / 2 X(k\Omega_0)=A\tau\frac{sin(\Omega\tau/2)}{\Omega\tau/2} X(kΩ0)=AτΩτ/2sin(Ωτ/2),其中 τ \tau τ是窗宽,A是幅值,主瓣宽度为 4 π τ \frac{4\pi}{\tau} τ4π
存在条件: $energy: \int |x(t)|^2dt < \infty $。周期信号一般不是能量信号,所以使用傅里叶级数分析
exp:冲激串,时域的间隔为T,幅值为A,频域的间隔为 2 π T \frac{2\pi}{T} T2π,幅值为A 2 π T \frac{2\pi}{T} T2π
【FT基本性质】【时频物理量总是互为倒数、共轭变化】
奇偶函数-虚实函数
扩宽-压缩
函数形式变换对
X ( e j ω ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( n ) e − j k ω X(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jk\omega} X(ejω)=k=−∞∑∞x(n)e−jkω x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j k ω ) d ω x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jk\omega})d\omega x(n)=2π1∫−ππX(ejkω)dω
其中 ω = Ω T s , t = n T s \omega = \Omega T_s,t=nT_s ω=ΩTs,t=nTs,也就是把FT中的连续信号变成连续的。Ts是采样时间间隔。记 Ω = w π f \Omega = w\pi f Ω=wπf是实际频率,而 ω = ω T s \omega = \omega T_s ω=ωTs是弧度频率(圆周频率), 归一化平频率则是 f ′ = f f s f'=\frac{f}{f_s} f′=fsf。
s平面的虚轴是z平面单位圆,X的周期是 2 π 2\pi 2π,所以只需要 − π -\pi −π 到 π 到\pi 到π积分就可以了。
DTFT和FT的联系(为什么会产生周期):对非周期函数用周期梳状函数进行了采样,原本FT是非周期函数的X,采样完之后,相当原本的X在因为每个梳状函数产生了移位,因此会成为周期为 ω = 2 π \omega=2\pi ω=2π的,周期性延拓的函数。
矩形窗信号常常用来加窗截取有效计算范围,时域上相乘,频域上卷积,卷积的的准确性要求频域的主瓣窄。
(1)-(6) 都和FT的行之一样
线性卷积
y ( n ) = ∑ x ( k ) h ( n − k ) y(n)=\sum x(k)h(n-k) y(n)=∑x(k)h(n−k)
(7). 相关定理 (FT应该也有)
R x y ( m ) = ∑ x ( n ) y ( n + m ) R_{xy}(m)=\sum x(n)y(n+m) Rxy(m)=∑x(n)y(n+m)
D T F T [ R x y ] = X ∗ ( e j w ) Y ( e j w ) DTFT[R_xy] = X^*(e^{jw}) Y(e^{jw}) DTFT[Rxy]=X∗(ejw)Y(ejw)
R x y ( m ) = lim N → ∞ 1 N ∑ x ( n ) y ( n + m ) R_{xy}(m)=\lim_{N \rarr \infty} \frac{1}{N}\sum x(n)y(n+m) Rxy(m)=limN→∞N1∑x(n)y(n+m)
(8). 帕赛瓦定理
时域功率 - 自相关函数为0时候的值
频域功率 - 时域功率函数的DTFT
1 2 π ∫ − π π ∣ S ( e j ω ) ∣ 2 = ∑ − ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|S(e^{j\omega})|^2 = \sum_{-\infty}^{\infty}|x(n)|^2 2π1∫−ππ∣S(ejω)∣2=−∞∑∞∣x(n)∣2
FT-LT
LT是广义的单边傅里叶变换
X ( K ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k X(K)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} X(K)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnk x ( k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N n k x(k)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk} x(k)=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk
认为周期是N,时间上间隔是 T s T_s Ts,频域的周期也是 N N N,间隔是 Ω 0 \Omega_0 Ω0
n , k = − ∞ , . . . , ∞ n,k = -\infty, ... , \infty n,k=−∞,...,∞
如果认为信号的w间隔没有必要那么小,那么频谱就是离散的,这样来看可以得到离散时间傅里叶变换的近似形式,也就就是DFT。也可以认为,实际上是给一个无现场信号加窗,认为它成为一个有限长信号。
X ( K ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k X(K)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} X(K)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnk x ( k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N n k x(k)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk} x(k)=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk
n , k = 0 , . . . , N − 1 n,k = 0, ... , N-1 n,k=0,...,N−1
DFS的n和k实际上没必要取到无穷,而是取其中的一个周期参与运算即可。
原理上,x和X各取一个周期的数据参与运算就可以还原完整序列。
需求上,计算机需要有限长离散数据。
记
W N = e − j 2 π N W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}} WN=e−jN2π
有
X ( K ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N n k X(K)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} X(K)=n=0∑N−1x(n)WNnk x ( k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) W N − n k x(k)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} x(k)=N1k=0∑N−1X(k)WN−nk
这里认为所有信号都是余弦信号有限求和构成(无限和破坏周期),因此认为是以 2 π 2\pi 2π做周期
DFT 中,对离散信号采样,N个点内,实信号是以 N 2 \frac{N}{2} 2N为偶对称,相位谱以 N 2 \frac{N}{2} 2N奇对称。因此有效数据点只有 N 2 \frac{N}{2} 2N个,N点只是为了计算。
如果不满足采样定理,在 N 2 \frac{N}{2} 2N以后可能会产生频率交叠,课上所说的实际频率是指信号的实际频率分量。
循环移位
这里的以为是已经进行周期延拓的信号进行的移位
D F T ( x ( n + m ) ) = W N − k m X ( k ) DFT(x(n+m))=W_N^{-km}X(k) DFT(x(n+m))=WN−kmX(k) I D F T ( X ( k + m ) ) = W N k m x ( k ) IDFT(X(k+m))=W_N^{km}x(k) IDFT(X(k+m))=WNkmx(k)
卷积运算(循环卷积,需要均为N点序列)
y ( n ) = ∑ k = 0 ∞ x ( k m o d N ) h ( n − k m o d N ) y(n) = \sum_{k=0}^{\infty}x(k~mod~N)h(n-k~mod~N) y(n)=k=0∑∞x(k mod N)h(n−k mod N)
如果要计算线性卷积(N和M点序列),可以对周期序列补0,补到L个零(L=N+M-1),按循环卷积计算,再去前N个值即线性卷积结果。
窗的宽度越小越好,频域的窄则频域的分辨率高,时域的窄则时域的分辨率更高。窗函数要是太宽,也会发生频域泄露,直接导致不准。
比较关注的是频率分辨率(因为DFT的时域分辨率肯定是不准的)
频率分辨率:区别开两个离的很近的谱峰的能力
FT
设x的长度为T(有限长), X T X_T XT的分辨率为 2 T \frac{2}{T} T2Hz。
矩形窗函数的主瓣宽度为 Δ Ω = 4 π T \Delta\Omega= \frac{4\pi}{T} ΔΩ=T4π
DTFT
设抽样间隔为 T S T_S TS, N = T T s N=\frac{T}{T_s} N=TsT,X的分辨率 Δ Ω = 4 π N \Delta\Omega= \frac{4\pi}{N} ΔΩ=N4π
要分辨出两个 ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω1,ω2,需要满足 4 π ∣ ω 1 − ω 2 ∣ ≤ N \frac{4\pi}{|\omega_1-\omega_2|} \leq N ∣ω1−ω2∣4π≤N
矩形窗函数的主瓣宽度为 Δ Ω = 4 π N \Delta\Omega= \frac{4\pi}{N} ΔΩ=N4π,其他窗函数乘成一个>1的系数
DFT
超明显 Δ f = f s N \Delta f = \frac{f_s}{N} Δf=Nfs
增加数据量长度就可以提高分辨率
采样频率提升可以提升最高频率的范围,采样数据量提升可以提升分辨率,好的分析应该是二者同时增大
补零可以让数据长度变成2的整次数次幂,可以起到一定的插值作用
整周期采样+采样定理+分辨率
通过 W n k W_{nk} Wnk的周期性简化复数幂次计算,然后通过变换求和顺序(逐次分两组),再次降低复数乘法计算量,因此成为一个递归的算法。
LT
X ( s ) = ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t X(s)= \int^{\infty}_{0}x(t) e^{-s t}dt X(s)=∫0∞x(t)e−stdt s = j Ω s = j \Omega s=jΩ
ZT(z变换是采样信号做的Laplace变换,相当于DTFT和FT的关系)
X ( z ) = ∑ o ∞ x ( n ) z − n X(z) = \sum_o^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=o∑∞x(n)z−n z = e s T s = e ( σ + j Ω ) T s = r e j Ω T s z = e^{sT_s} = e^{(\sigma+j\Omega)T_s} = r e ^{j\Omega T_s} z=esTs=e(σ+jΩ)Ts=rejΩTs
FT(连续+非周期)-> 非周期连续谱
X ( j Ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X(j\Omega)= \int^{\infty}_{-\infty}x(t) e^{-j\Omega t}dt X(jΩ)=∫−∞∞x(t)e−jΩtdt x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j Ω ) e j Ω t d Ω x(t)= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} X(j\Omega) e^{j\Omega t }d\Omega x(t)=2π1∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ
FS(连续+周期)-> 非周期离散谱(间隔为 Ω 0 = 2 π T \Omega_0=\frac{2\pi}{T} Ω0=T2π)
X ( K Ω 0 ) = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k Ω 0 t d t X(K\Omega_0)= \frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} x(t) e^{-jk\Omega_0 t}dt X(KΩ0)=T1∫−2T2Tx(t)e−jkΩ0tdt x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( k Ω 0 ) e j k Ω 0 t x(t)= \sum^{\infty}_{k=-\infty} X(k\Omega_0) e^{jk\Omega_0 t} x(t)=k=−∞∑∞X(kΩ0)ejkΩ0t
DTFT(不连续+非周期)–抽样定理–> 周期连续谱(周期为 2 π 2\pi 2π, ω = Ω T s \omega = \Omega T_s ω=ΩTs,单位是弧度,时域间隔是 T s T_s Ts,频域周期是 ω s = Ω s T s = 2 π \omega_s = \Omega_s T_s = 2\pi ωs=ΩsTs=2π)
X ( e j ω ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( n ) e − j k ω X(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jk\omega} X(ejω)=k=−∞∑∞x(n)e−jkω x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j k ω ) d ω x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jk\omega})d\omega x(n)=2π1∫−ππX(ejkω)dω
DFS(不连续+周期)-> 周期离散谱(时域间隔为 T s T_s Ts,频域周期为 Ω s = N Ω 0 \Omega_s = N\Omega_0 Ωs=NΩ0,间隔为 Ω 0 \Omega_0 Ω0,N个点)
X ( K ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k X(K)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} X(K)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnk x ( k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N n k x(k)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk} x(k)=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk
DFT(连续函数->不连续的周期函数,只是为了便于在计算机上实现,本质DFS)
X ( K ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k X(K)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} X(K)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnk x ( k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e j 2 π N n k x(k)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk} x(k)=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk
在DFS、DFT中的量
Ω s = N Ω 0 \Omega_s = N\Omega_0 Ωs=NΩ0
T = N T s T = N T_s T=NTs
Ω s = 2 π T s \Omega_s = \frac{2\pi}{T_s} Ωs=Ts2π
时域的间隔和频域的周期互为倒数,频域的周期和时域的离散间隔互为倒数,这些量隐含在x和X中,自变量是n和k
x ( n ) = x ( n T s ) x(n) = x(nT_s) x(n)=x(nTs)
X ( k ) = X ( k Ω 0 ) X(k) = X(k\Omega_0) X(k)=X(kΩ0)
Z变换:整个z平面
DTFT:单位元
DFT:单位元上的N个离散的点