广义势能函数和带电粒子在电磁场中的运动

根据广义力的定义

Qα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qα Q α = ∑ i = 1 n F i ⋅ ∂ r i ∂ q α

在保守场中可以由 Fi=−∇iV F i = − ∇ i V 得出 Qα=−∂V∂qα Q α = − ∂ V ∂ q α ，从而将从达朗贝尔原理导出的

ddt(∂T∂q˙α)−∂T∂qα=Qα(1) ( 1 ) d d t ( ∂ T ∂ q ˙ α ) − ∂ T ∂ q α = Q α

化为拉格朗日方程（因为保守场的势能函数 V V 仅仅是广义坐标的函数）

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0(2) ( 2 ) d d t ( ∂ L ∂ q ˙ α ) − ∂ L ∂ q α = 0

上面拉格朗日方程是势能函数仅仅为广义坐标的函数的情况。需要注意的是，由达朗贝尔原理得来的 (1) ( 1 ) 式其实不局限于保守场。现在考虑对于非保守场的情况，这时势能函数不仅是广义坐标的函数，还可能是广义速度的函数。这就需要引入广义势能函数 U U 作为广义坐标和广义速度的函数，来代替原来的只是广义坐标的势能函数V V 。这时，注意到，根据广义力的定义式，经过一系列的变形，如果最终能写成如下形式

Qα=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qα(3) ( 3 ) Q α = d d t ( ∂ U ∂ q ˙ α ) − ∂ U ∂ q α

则拉格朗日方程

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0 d d t ( ∂ L ∂ q ˙ α ) − ∂ L ∂ q α = 0

仍然成立，等式两边是恒等的，其中 L=T−U L = T − U 。也就是说，如果引入的广义势能函数 U U 的结构是恰当的，以至于根据广义力定义式计算、变形能得到(3) ( 3 ) 式的形式，则拉格朗日方程 (2) ( 2 ) 式成立，只需把新函数 U U 当做势能（L=T−U L = T − U ）。

大多数情况下，为了 (3) ( 3 ) 式中广义力 Qα Q α 中不显含广义加速度（为什么？可能因为力学系统完全由某时刻全部的位置、速度决定，而与更高阶导数无关），广义势能函数中只能包含广义速度的一次项和零次项，不包含广义速度更高次项，即

U=∑α=1sUα(q,t)q˙α+U0(q,t) U = ∑ α = 1 s U α ( q , t ) q ˙ α + U 0 ( q , t )

单带电粒子在电磁场中的情形下（仅仅把带电粒子视为试探电荷，不考虑辐射反作用力之类的），洛伦兹力公式给出受力情况

F=e(E+v×B) F = e ( E + v × B )

其中

B=∇×AE=−∇φ−∂A∂t B = ∇ × A E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t

而 φ(r,t) φ ( r , t ) 和 A(r,t) A ( r , t ) 为场的标势和矢势。用标势和矢势表示两个场，得到

F=−∇(eφ−eA⋅v)+ddt∇v(eφ−eA⋅v) F = − ∇ ( e φ − e A ⋅ v ) + d d t ∇ v ( e φ − e A ⋅ v )

先试探地定义广义势能函数

U(q,q˙,t)=eφ−eA⋅v U ( q , q ˙ , t ) = e φ − e A ⋅ v

这时，根据广义力的定义，广义力为

Qα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r˙∂q˙α=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qα Q α = ∑ i = 1 n F i ⋅ ∂ r i ∂ q α = − ∇ U ⋅ ∂ r ∂ q α + ( d d t ∇ v U ) ⋅ ∂ r ∂ q α = − ∇ U ⋅ ∂ r ∂ q α + ( d d t ∇ v U ) ⋅ ∂ r ˙ ∂ q ˙ α = d d t ( ∂ U ∂ q ˙ α ) − ∂ U ∂ q α

正好符合 (3) ( 3 ) 式，因此这个广义势能函数的结构是恰当的，所以拉格朗日方程

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0 d d t ( ∂ L ∂ q ˙ α ) − ∂ L ∂ q α = 0

成立，其中 L=T−U=12mv2−(eφ−eA⋅v) L = T − U = 1 2 m v 2 − ( e φ − e A ⋅ v ) .