数理方程——达朗贝尔公式

1 行波法

行波法：研究行进波的方法，求解无界空间的波动问题。

  对于一个定解问题中偏微分方程的求解，我们可以仿照常微分方程，先求通解，然后用初始条件来求特解。

2 达朗贝尔公式

  对于一个定解问题：

$$\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}=a^2{u}_{xx}& -\infty <x<\infty \\ u{|}_{t=0}=\phi (x)& -\infty <x<\infty \\ u_t{|}_{t=0}=\psi (x)& -\infty <x<\infty \end{array}$$

  达朗贝尔公式如下：

$$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+at)+\phi (x-at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (\alpha )d\alpha$$

3 求解问题

适定性

  如果求得的解是唯一、存在、稳定的，那么这个求得的解就是适定的。

  达朗贝尔公式存在、唯一，且稳定，因此它是适定的。

物理意义

$$\phi (x-at)：以速度a沿x轴正向传播的波，即正波$$$$\phi (x+at)：以速度a沿x轴反向传播的波，即反波$$

  令$\Psi (x)=\frac{1}{a}{\int }_{x_0}^x\psi (\alpha )d\alpha$，那么可以得到

$$\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (\alpha )d\alpha =\frac{1}{2}[\Psi (x+at)-\Psi (x-at)]$$

  同样可以看作是反波与正波的差。

  由此，我们得到结论：达朗贝尔解表示正行波和反波的叠加。