大学物理第六章 静电场详解(全)

电场 电场强度

一.电荷

电荷的概念是从物体带电的现象中产生的，电荷是物体状态的一种属性，宏观物体或微观粒子处于带电状态就说它们带有电荷

物体或微观粒子所带的电荷有两种，称为正电荷和负电荷，带同种电荷的物体互相排斥，带异种电荷的物体互相吸引，静止电荷之间的相互作用力称为静电力，根据带电体之间相互作用力的大小能够确定物体所带电荷的多少

表示电荷多少的量叫作电量，电量的单位是库伦，符号为C

电子的电荷集中在半径小于10-18m的小体积内，因此，常把电子看成一个无内部结构而具有有限质量和电量的点

例如：

质子只有正电荷，都集中在半径约为10-15m的体积内，中子内部也有电荷，靠近中心为正电荷，靠外为负电荷，正负电荷相等，所以对外不显带电

由物质的分子结构知识可知，在正常状态下，物体内部的正电荷和负电荷量值相等，物体处于中性状态，使物体带电的过程就是使它获得或失去电子的过程

在一孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变，该定律称为电荷守恒定律

在粒子的相互作用过程中，电荷是可以产生和消失的，在已观察到的各种过程中，正、负电荷总是成对出现或者成对消失

任何带电体所带电量都是基本电量e=1.602*10-19C的整数倍，这种电量只能取分立的、不连续的量值的性质称为电荷的量子化

一个电荷的电量与它的运动状态无关，在不同的参考系观察，同一带点粒子的电量不变，电荷的这一性质叫电荷的相对论不变性

二.库伦定律

两个静止带电体(静止电荷)之间的作用力称为静电力，静电力不仅与它们所带的电量及它们之间的距离有关，而且与它们的大小、形状及电荷分布情况有关

当带点体本身的线度与它们之间的距离相比足够小时，带电体可以看成点电荷，即带电体的形状、大小可以忽略，而把带电体所带电量集中到一个点上

真空中两个静止的点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷所带电量q1和q1的乘积成正比，与它们之间的距离r的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引，该定律称为库伦定律

相互作用力F的大小的数学表达式为F=kq1q2/r2

式中，k为比例系数，其数值和单位取决于各量所采用的单位

为了使由库伦定律推导出的一些常用公式简化，引入新的常数来代替k，两者的关系为

该数学符号称为真空中的介电常数，因此原式可改写为

为了表示力的方向，可以采用矢量式表示库伦定律

上式中，r0是由施力电荷指向受力电荷的矢径方向的单位矢量

库伦定律只适用于两个点电荷之间的作用，当空间同时存在几个点电荷时，它们共同作用于某一点电荷的静电力等于其他各点电荷单独存在时作用在该点电荷上的静电力的矢量和，这就是静电力的叠加原理

三.电场强度

电场是一种客观存在的物质，以有限的速度运动或者传播，也具有和实物一样的能量、动量、质量等重要物质，但电场与其他实物也有不同，几个电场可以同时占据同一空间，所以电场是一种特殊形式的物质

相对于观察者为静止的带电体周围存在的电场称为静电场，对外表现主要有以下两点：

1.处于电场中的任何带电体都受到电场所作用的力

2.当带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功

电场中任一点处电场的性质，可以从电荷在电场中受力的特点来定量描述

用电量很小的点电荷q0作为试验电荷：
当试验电荷q0放在电场中一给定点处时，它所受到的电场力的大小和方向是一定的

当试验电荷q0放在电场中的不同点处时，它所受到的电场力的大小和方向一般是不相同的

实验电荷q0放在电场中一固定点处，当q0的电量改变时，它所受的力方向不变，但力的大小将随电量的改变而改变，然后始终保持力F和q0的比值为一恒矢量

因此，F/q0反映了q0所在点处电场的性质，称为电场强度，用E表示，即E=F/q0

当q0为一个单位正电荷时，E=F，即电场中任一点的电场强度等于正电荷在该点所受的电场力

一般情况下，电场中的不同点，其电场强度的大小和方向是各不相同的，要完整的描述出整个电场，必须知道空间各点的电场强度分布，即求出矢量场函数F=E(r)

四.电场强度叠加原理

将试验电荷q0放在点电荷系q1,q2,...,qn所产生的电场中时，q0将受到各点电荷静电力的作用，由静电场的叠加原理知，q0受到的总静电力为F=F1+F2+...+Fn，两边同时除以q0，得E=E1+E2+...+En

上式表明，电场中任一场点处的总电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和，该定理称为电场强度叠加原理

五.电场强度的计算

1.点电荷的电场

设真空中有一点电荷q，点P为空间一点(称为场点)

r为从q到点P的矢径，当试验电荷q0放在点P时，q0所受电场力为

上式中，r0为矢径r方向的单位矢量，则点P电场强度为

q为正电荷时，E与r同方向，q为负电荷时，E与r反方向

上式表明，点电荷的电场具有球对称性，在以q为中心的每一个球面上，各点电场强度的大小相等

正点电荷的电场强度方向垂直球面向外，负点电荷的电场强度方向垂直球面向里（因为以点电荷为中心，r的方向为点电荷指向某一点，向外）

2.点电荷系的电场

设真空中有点电荷系q1,q2,...,qn，用ri0表示第i个点电荷qi到任意场点P的矢径ri方向的单位矢量，Ei为qi单独存在时在点P产生的电场强度

在直角坐标系中式的分量式分别为

3.电荷连续分布的带电体的电场

可以把带电体分割成无限多个电荷元dp，dp在场点P产生的电场强度dE与点电荷电场强度相同，因此

r0为电荷元dp到点P的矢径r方向的单位矢量，根据电场强度叠加原理，带电体在点P的总电场强度为

若电荷连续分布在一体积内，用ρ表示电荷体密度，则式中dp=ρdV

若电荷连续分布在一曲面或平面上，用α表示电荷面密度，则dq=αdS

若电荷连续分布在一曲线或直线上，用λ表示电荷线密度，则dq=λdl

相应的计算E的积分分别为体积分、面积分、线积分

六.带电体在外电场中所受的作用

点电荷q放在电场强度为E的外电场中某一点时，电荷受静电力F=qE

计算一个带电体在电场中所受的作用，要先把带电体划分为许多电荷元，先计算每个电荷元所受的作用力，然后用积分求带电体所受的合力和合力矩

电通量 高斯定理

一.电场的图示法 电场线

电场中每一点的电场强度E都有一定的方向，为了形象地描述电场中电场强度的分布，可以在电场中描述一系列的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向都与该点电场强度E的方向一致，这些曲线叫电场线

规定在电场的任一点处，通过垂直于E的单位面积的电场线的数目等于该点处E的量值

静电场的电场线有如下性质：

1.不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷(或无穷远处)、止于负电荷(或无穷远处)

2.任何两条电场线不相交，说明静电场中每一点的电场强度是唯一的

二.电通量

通过电场中任一给定面的电场线数称为通过该面的电通量，用Ψ表示

1.如a图所示，在均匀电场E中，通过与E方向垂直的平面S的电通量为

Ψ=ES

2.如b图所示，若平面S的法线n与E的夹角为θ，则S在垂直与E的方向上的投影面积为S'=Scosθ，通过平面S的电通量等于通过面积S'的电通量,即

式中，矢量面积S=Sn0，n0为S法线方向单位矢量

3.如c图所示，计算非均匀电场中通过任一曲面S的电通量时，要把该曲面划分为无限多个面元，一个无限小的面元dS的法线n与电场强度E的夹角为θ，则通过平面dS的电通量为

通过曲面S的总电通量等于通过各面元的电通量的总和，即

当曲面S为闭合曲面时，上式可写成

这时规定，面元dS的法线n的正向为指向闭合面的外侧，因此，从曲面上穿出的电场线，电通量为正值，从曲面上穿入曲面的电场线，电通量为负值

三.高斯定理

高斯定理是静电场的一条基本原理，它给出了静电场中通过任一闭合曲面的电通量与该闭合曲面内所包围的电荷之间的量值关系

1.点电荷电场

以点电荷q为中心，取任意长度r为半径作闭合球面S包围点电荷，如图a所示，在S上取面元dS，其法线n与面元处的电场强度E方向相同，因此通过dS的电通量为

通过整个闭合球面S的电通量为

即通过闭合球面的电通量与半径r无关，只与被球面所包围的电量q有关

当q是正电荷时，Ψ>0，表示电场线从正电荷发出且穿出球面

当q是负电荷时，Ψ<0，表示电场线穿入球面且止于负电荷

如果包围点电荷q的曲面时任意闭合曲面S'，如图b所示，可以在曲面S'外面作一以q为中心的球面S，由于S与S'之间没有其他电荷，从q发出的电场不会中断，所以穿过S'的电场线数与穿过S的电场线数相等，即通过包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量为

2.点电荷在闭合曲面S之外的情况

、

因为只有与闭合曲面S相切的锥体范围内的电场线才通过闭合曲面S，但每一条电场线从某处穿入必从另一处穿出，一进一出正负抵消，所以在闭合曲面S外的电荷对通过闭合面的电通量没有贡献，即通过不包围电荷q的闭合曲面S的电通量为0

对于任意带点系统的电场，有电场强度叠加原理

式中，Ei是系统中某点电荷qi产生的电场强度，因此在这个电场中，通过任意闭合曲面S的电通量为

在闭合曲面取定的情况下

当某一点电荷qi位于闭合曲面S之内时，

当qi位于闭合曲面S之外时，

因此，有以下式子

上式中的qi只是那些被闭合曲面S包围的电荷，即通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量Ψ等于包围在该闭合面内的电荷代数和的常数分之一，而与闭合面外的电荷无关，该定理称为静电场的高斯定理

高斯定理说明通过闭合面的电通量只与该闭合面所包围的电荷有关，并没有说闭合面上任一点的电场强度只与闭合面所包围的电荷有关，电场中任一点的电场强度是由所有场源电荷，即闭合面内、外所有电荷共同产生的

四.高斯定理的应用

如果带电体的电荷分布已知，根据高斯定理容易求得任意闭合曲面的电通量，但不一定能确定面上各点的电场强度，只有当电荷分布具有某些对称性并取合适的闭合面时，才可以利用高斯定理

电场力的功 电势

一.电场力的功

由静电场对外的主要表现可知，当电荷在电场中运动时，电场力对它做功，即在点电荷q的电场中，试验电荷q0从点a经任意路径acb移动到点b时，电场力对电荷q0将做功

如上图所示，在路径中任一点c附近取一元位移dl，q0在dl上受的电场力F=q0E，F与dl的夹角为θ，则电场力在dl上对q0做功为

因为dlcosθ=r'-r=dr，为位矢模的增量，所以

当q0从点a移动到点b时，电场力做功为

上式中，ra、rb分别表示路径的起点和终点离点电荷q的距离，可见，在点电荷q的电场中，电场力对q0做的功只取决于移动路径的起点a和终点b的位置，而与路径无关

上述结论可以推广到任意带点体产生的电场，任何一个带电体可以看成是许多点电荷的集合，总电场强度E等于各点电荷电场强度的矢量和，即

在电场强度E中，试验电荷q0从点a沿任意路径acb移到点b时，电场力做功为

上式中，rai、rbi分别表示路径的起点和终点离点电荷qi的距离，可见，功仍只取决于路径的起点和终点位置，而与路径无关

结论：
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功，只与电场的性质、试验电荷的电量及路径起点和终点的位置有关，而与路径无关，这说明静电力是保守力，静电场是保守力场

二.静电场的环流定理

静电场力做功与路径无关的特性还可以用另一种形式来表达，设试验电荷q0从电场中点a经任意路径acb到达点b，再从点b经另一路径bda回到点a，则电场力在整个闭合路径acbda上做功为

由于q0!=0，因此

上式左边是电场强度E沿闭合路径的积分，称为静电场E的环流，它表明在静电场中，电场强度E的环流恒等于0，该结论称为静电场的环流定理，它是静电场为保守场的数学表述

三.电势能

任何保守力场都可以引入势能的概念，静电场是保守力场，相应的可以引入电势能的概念，即认为试验电荷q0在静电场中某一位置具有一定的电势能，用Ep表示，当试验电荷q0从电场中的点a移动到点b时，电场力对它的做功等于相应电势能增量的负值，即

式中，Epa、Epb分别是试验电荷在点a、点b的电势能，有以下两种情况：

电场力做正功时，Wab>0，则Epa>Epb，电势能减少

电场力做负功时，Wab<0，则Epapb，电势能增大

与其他形式的势能一样，电势能也是相对量，只有先选定一个电势能为0的参考点，才能确定电荷在某一点的电势能的绝对大小

电势能零点可以任意选择，如选择电荷在点b的电势能为0，即选定Epb为0，则有公式可得点a电势能绝对大小为

上式表明，试验电荷q0在电场中任意一点a的电势能在数值上等于把q0由该点移到电势能零点处时电场力所做的功，当场源电荷局限在有限大小的空间里时，常把电势能零点选在无穷远处，即规定Ep∞=0，则q0在点a的电势能为

即在规定无穷远处电势能为零时，试验电荷q0在电场中任一点a的电势能在数值上等于把q0由点a移到无穷远处时电场力所做的功

与任何形式的势能相同，电势能是试验电荷和电场的相互作用能，它属于试验电荷和电场组成的系统

四.电势 电势差

上式表示电势能Epa不仅与电场性质及点a位置有关，而且还与电荷q0有关，但比值Epa/q0无关，仅由电场性质和点a的位置决定，因此，Epa/q0是描述电场中任一点a电场性质的一个基本物理量，称为点a的电势，用Ua表示，即

上式表明，若规定无穷远处为电势零点，则电场中某点a的电势在数值上等于把电位正电荷从该点沿任意路径移到无穷远处时电场力做的功

电势是标量，单位是伏特，符号为V

静电场中任意两点a和b电势之差称为a、b两点的电势差，也称为电压，用Uab表示，即

上式表明，静电场中a、b两点的电势差等于单位正电荷从点a移动到点b时电场力所做的功，因此，当任一电荷q0从点a移到点b时，电场力做功可用a、b两点的电势差表示

电势零点的选择时任意的，通常在场源电荷分布在有限空间时，取无穷远处为电势零点，但当场源电荷的分布广延到无穷远处时，不能再取无穷远处为电势零点，因为会遇到积分不收敛的情况而无法确定电势，这时可在电场内另选一合适的电势零点

五.电势的计算

1.点电荷电场的电势

在点电荷电场中，电场强度E为

根据电势定义式，在选取无穷远处为电势零点时，电场中任一点a的电势为

2.电势叠加原理

若是点电荷系电场，则由电场强度叠加原理式

可以得到，在取U∞=0时，电场中任意一点a的电势为

对于电荷连续分布的有限大小带电体的电场，可以看成是许多电荷元dp产生的电场，把每一个电荷元看成是一个点电荷并取U∞=0时，则总电场在点a的电势就等于无限多个电荷元电场在点a的电势之和，即

上式中，r是电荷元dp到场点a的距离，V是电荷连续分布的带电体的体积

电场强度与电势的关系

一.等势面

电势是标量场，一般来说静电场中各点的电势是逐渐变化的，但是总有某些电势相等的点，由电势相等的各点所构成的曲面叫等势面，如点电荷电场中，等势面是球面，而点电荷电场的电场线沿着半径方向，所以电场线与等势面处处正交

不仅是点电荷的电场，在任意静电场中，等势面与电场线总是处处正交，证明如下：

设在任意静电场中，电荷q0沿着等势面上一位移元dl从点a移到点b，则电场力做功

dW=q0Edl=q0Ecosθdl=q0(Ua-Ub)=0

上式中q0、E、dl均不等于0，所以cosθ=0，θ=π/2

说明E与dl垂直，即电场线与等势面正交

如果让正电荷q0沿任意静电场的电场线上的位移元dl从点a移到带你b'，则电场力做功

另一方面，又有

所以Ua-Ub'>0，即Ua>Ub'，电场线总是指向电势降落的方向，任意两相邻等势面间电势差都相等，则电场强度较强的区域，等势面较密，电场强度较弱的区域，等势面较疏

如下图所示

二.电场强度与电势梯度的关系

电势定义式反映了静电场中电势与电场强度的积分关系，在求出电场强度分布后可由该式求得电势分布，而要有电势分布求得电场强度分布，就必须了解电场强度与电势的微分关系

如上图所示，在任意静电场中，取两个靠近的等势面，电势分别为U和U+dU，且设dU>0，点a在电势为U的等势面上，点b在电势为U+dU的等势面上，从a到b的位移元为dl，当把正电荷q0从带点a沿dl移到点b时，电场强度E近似不变，则电场力的功为

另一方面

上式中，El=Ecosθ是电场强度E在dl方向上的分量，有上面两式可得

-dU=Eldl，即El=-dU/dl

上式表明，电场中某一点的电场强度E沿某一方向的分量El等于电势沿该方向上变化率的负值

在直角坐标系中，U是坐标x、y、z的函数，电场强度E在x、y、z三个方向上分量分别为

即电场强度E的矢量式可以表达为

在数学上，矢量

称为电势的梯度，用gradU或者VU表示

上式表明，电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值

在两等势面之间，从点a沿不同方向上的电势变化率不同，其中沿等势面法线n方向的电势变化率最大，若以dn表示点a处两等势面的法向距离，n0表示法线n方向的单位矢量，同时考虑到电场线与等势面正交且指向电势降落的方向，n指向电势升高的方向，即电场强度E沿法线n的相反方向，则有

而电势梯度与电场强度的关系为

即电势梯度的物理意义为：
电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法向且指向电势增大的方向

静电场中的导体

一.导体的静电平衡

导体的特点是导体内存在着大量的自由电荷，对金属导体而言，就是自由电子，一个不带电的中性导体在电场力作用下其自由电子会作定向运动而改变导体上的电荷分布，使导体处于带电状态，称为静电感应

导体由于静电感应而带的电荷叫感应电荷，同时，感应电荷又会影响到电场分布，因此，当电场中有导体存在时，电荷分布和电场分布相互影响、相互制约，当导体中的自由电子没有定向运动时，称导体处于静电平衡状态，导体达到静电平衡状态所满足的条件叫静电平衡条件

导体的静电平衡条件是：导体内部的电场强度为0，在导体表面附近电场强度沿表面的法线方向

上面所讨论的电场强度，指的是外加的静电场E0和感应电荷产生的附加电场E'叠加后的总电场，即

E=E0+E'

如果导体内电场E不是处处为0，则在E不为0的地方，自由电子将作定向运动

如果表面附近电场有切线方向分量，则导体表面层电子将沿表面作定向运动

上述两种情况都不是静电平衡状态

处于静电平衡状态的导体，有以下性质：
1.导体是等势体，导体表面是等势面

导体内任意两点P和Q之间的电势差

所以导体是等势体，其表面是等势面，由电场强度方向与等势面正交的性质也可以判定导体表面是等势面

2.导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上

按照高斯定理

其中V是导体内部任一闭合曲面S所包围的体积，因为导体内部电场强度E处处为0且闭合面S可以无限缩小直至只包围一个点，所以导体内部电荷密度ρ处处为0

3.导体以外，靠近导体表面附近处的电场强度大小与导体表面在该处的面电荷密度α的关系为

证明如下：

如上图所示，设点P是导体外紧靠表面处的任意一点，在邻近点P的导体表面取一面元△S，做薄扁圆柱形闭合高斯面，使其上底面△S1通过点P、下底面△S2在导体内部，两底面均与导体表面的面元△S平行且无限靠近，△S1=△S2=△S

侧面△S3与△S垂直，则通过该闭合高斯面的电通量为

因为△S2在导体内部，面上各点电场强度为0，△S3上各点电场强度与dS垂直，所以

而闭合面内包围的净电荷为α△S，所以

当α>0时，E垂直表面向外，当α<0时，E垂直表面向内，上式给出了导体表面每一点面电荷密度与其附近电场强度之间的对应关系

导体表面附近电场强度E是导体表面所有电荷及周围其他带电体共同产生，其对电场强度的影响由α体现，当电荷分布或电场强度分布改变时，但α和E的关系不会改变

导体表面上的电荷与导体的形状有关，也与导体附近有什么样的物体有关，对于孤立的带电导体来说，面电荷密度与表面曲率之间一般并不存在单一的函数关系

导体表面凸出而尖锐处曲率较大，α也较大，导体表面较平坦处曲率较小，α也较小

导体表面电场强度分布也与α分布相似，即尖端处电场强度大，平坦处电场强度次之，凹进去处电场强度最弱

导体表面尖端处电场特别强，会导致一个重要结果，即尖端放电

二.导体壳和静电屏蔽

1.腔内无带电体的情况

当导体壳腔内没有其他带电体时，在静电平衡条件下，导体壳内表面处处没有电荷，电荷只分布在导体壳的外表面上，而且空腔内没有电场，也说空腔内的电势处处相等

证明如下：
可以在导体壳的内、外表面之间取一闭合曲面S，将空腔包围起来，由于S完全处于导体的内部，根据静电平衡条件，S面上电场强度处处为0，由高斯定理可推知，在S面内电荷代数和为0，因为腔内无带电体，所以空腔内表面的电荷代数和也为0，

反证法证明：
当达到静电平衡时，导体壳内表面上的电荷面密度必定处处为0，否则，如果有地方α<0，则必有另一处α>0，两处之间必有电场线相连，必有电势差，而这与静电平衡时导体是等势体相矛盾

由于在导体壳内表面上α处处为0，所以内表面附近E处处为0，电场线不可能起于内表面，同时腔内无带电体，在腔内不可能有另外的电场线的端点，静电场的电场线又不可能闭合，所以腔内没有电场线，即腔内不可能有电场，腔内空间各点电势处处相等

2.腔内有带电体的情况

当导体壳腔内有其他带电体时，在腔内放一带电体+q，同样在导体壳内、外表面间作一闭合曲面S，由静电平衡条件和高斯定理不难求出S面内电荷代数为0，所以导体壳内表面上要感应出电荷-q，即导体内表面所带电荷与空腔内带电体的电荷等量异号，腔内电场线起自带电体电荷+q而止于内表面上的感应电荷-q，腔内电场不为0，带电体与导体壳之间有电势差，外表面相应地感应出电荷+q

如果空腔导体壳本身不带电，此时导体壳外表面只有感应电荷+q

如果空腔导体本身带电量为Q，则导体壳外表面所带电荷为Q+q

3.静电屏蔽

在静电平衡条件下，不论导体壳本身带电还是导体壳处于外界电场中，腔内无其他带电体的导体壳内部没有电场

导体壳的表面保护了它所包围的区域，使之不受导体壳外表面的电荷或外界电场的影响，而接地良好的导体壳还可以把腔内部带电体对外界的影响全部消除(上述导体壳的外表面所带感应电荷+q全部入地)

导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体壳使得外部电场不受壳内电荷的影响，内部电荷对外界也不影响

这种现象称为静电屏蔽，前者称为外屏蔽，后者称为全屏蔽

三.有导体存在的静电场电场强度与电势的计算

在计算有导体存在时的静电场分布时，首先要根据静电平衡条件和电荷守恒定律，确定导体上新的电荷分布，然后由新的电荷分布求电场的分布

静电场中的电介质

一.电介质的极化

电介质通常是指不导电的绝缘介质，在电介质内没有可以自由移动的电荷，但是，在外电场作用下，电介质内的正、负电荷仍可作微观的相对移动，结果，在电介质内部或表面出现带电现象，这种电介质在外电场作用下出现的带电现象称为电介质的极化，电介质极化所出现的电荷，称为极化电荷或束缚电荷

一般地，介质分子中的正、负电荷都不集中在一点，但是，在远大于分子线度的距离处观察，分子的全部负电荷的影响将与一个单独的负电荷等效，这个等效负电荷的位置称为分子的负电荷中心

同理，每个分子的全部正电荷也有一个相应的正电荷等效中心，若分子的正、负电荷的等效中心不相重合，这样一对距离极近的等值异号的正负点电荷称为分子的等效电偶极子，因而这一类介质叫作有极分子电介质

还有另一类电介质，其分子正负电荷等效中心重合，没有分子偶极子，叫作无极分子电介质

无极分子电介质在外电场作用下，正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子，这些电偶极子的方向都沿着外电场的方向，因此在电介质的表面将出现正负极化电荷，如上图所示，这类极化是由于电荷中心位移引起的，叫作位移极化

有极分子电介质虽然有分子偶极子，但在没有外电场存在时，由于分子的热运动，各个分子偶极矩的排列十分紊乱，电介质宏观不显电性，当电介质处于外电场中时，每个分子偶极矩都受到电场力矩的作用，分子偶极矩产生转向外电场方向的取向作用使介质带点，这种极化叫作取向极化

二.极化强度、极化电荷和极化规律

当电介质处于极化状态时，电介质内任一宏观小，微观大的体积元△V内，分子电偶极矩的矢量和不会互相抵消，即Pei!=0，我们定义介质中单位体积内分子电偶极矩的矢量和为极化强度矢量P

三.有电介质时的高斯定理

有电介质时，总电场E包括自由电荷产生的电场E0和极化电荷产生的附加电场E'，所以有电介质时的高斯定理表达式为

上式中，qi和qi'的总和分别为高斯面S内的自由电荷与极化电荷的代数和，利用极化强度与极化电荷的关系式，即

上式子可改写成

因此，可定义电位移矢量

就得到

此式就是有电介质时的高斯定理，在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和

电容 电容器

一.孤立导体的电容

附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带电量与它的电势成正比，写成等式即

q/U=C

比例系数C称为孤立导体的电容，如孤立导体球的电容

，它与导体的尺寸和形状有关，而与q和U无关，从上式可以看出电容C是使导体升高单位电势所需要的能量，反映了导体储存电荷和电能的能力，电容的单位是库伦每伏特，称为法拉，符号为F，常以微法，皮法为单位，它们之间的关系是

二.电容器及其点电容

当导体A附近有其他导体存在时，则该导体的电势不仅与它本身所带的电量有关，而且与其他导体的形状及位置有关，为了消除周围其他导体的影响，可用一个封闭的导体壳B将A屏蔽起来，如上图所示，可以证明，导体A和导体B之间的电势差UA-UB与导体A所带的电量成正比，不受外界影响，我们把导体壳B与其腔内的导体A所组成的导体系叫作电容器，其电容为

电容器的电容C与两导体的尺寸、形状及其相对位置有关，组成电容器的两导体叫作电容器的极板，在实际应用的电容器中，对其屏蔽性的要求不是很高，只要求从一个极板发出的电场线都终止在另一个极板上就行

设电容器的两极板分别带上等量异号电荷，通过计算两极板间的电场强度与电势差，依据上式可以方便地计算几类电容器的电容公式，如对长度为l且长度远比半径之差(RB-RA)大、两导体之间充满介电常数的同轴圆柱形电容器的电容值计算如下

如上图，设导体A轴向单位长度带点为λ，则导体B轴向单位长度带电-λ，在A、B之间电介质中电场强度由高斯定理求得为

上式中，r为场点到轴线的距离，则A、B两导体的电势差为

所以，长度为l的电容器电容为

上式中，有电解质的介电常数，l是电容器的长度，RA和RB分别为内、外圆柱的截面半径，对真空中极板面积为S，两极板间距离为d，且满足根号S>>d的平行板电容器

对真空中内、外球面半径为RA和RB的同心球形电容器

电容器电容大小由电容器的几何形状，电介质的性质和分布决定

对于电容器的分类，可按几何形状分为：

平行板电容器、圆柱形电容器、球形电容器等

按介质的种类分为：
空气电容器、纸介质电容器、云母电容器、电解电容器、陶瓷电容器等

按性能分为：
固定电容器、半可变电容器、可变电容器

三.电容器的连接

电容器的性能指标中有两个是非常重要的，一个是电容值，另一个是耐压值，使用电容器时，两极板上的电压不能超过所规定的耐压值，当单独一个电容器的电容值或耐压值不能满足实际需求时候，可以把几个电容器连接起来使用，电容器的基本连接方式有串联和并联两种

电容器串联时，串联的每一个电容器都带有相同的电量q，而电压与电容成反比地分配在各个电容器上，因此整个串联电容器系统的总电容C的倒数为

电容器并联时，加在各电容器上的电压是相同的，电量与电容成正比地分配在各个电容器上，因此整个并联电容器系统的总电容为

电场的能量

一.带电系统的能量

对于电量为Q的带电体A，可以设想是在不断地把微小电量dq从无穷远处移到A上的过程中，外界克服电场力做的功增加了带电体A的能量，即

所以带电体A从不带电到带有电量Q的整个过程积蓄的能量为

上式也可以表示为

不考虑电容器的结构

二.电场能量

在不随时间变化的静电场中，电荷和电场总是同时存在的，能量是定域在电场中，就可以把带电系统的能量公式用描述电场的物理量E和D来表示

考虑一个理想的平行板电容器，它的极板面积为S，极板间电场占空间体积V=Sd，极板上自由电荷为Q，极板间电压为U ，则该电容器储存能量We=QU/2

因为极板上电荷面密度

U=Ed，所以

而电场中单位体积的能量，即电场能量密度

可以证明，电场能量体密度的公式适用于任何电场，在电场中不均匀时，总电场能量在电场强度不为0的空间V中的体积分，即

在真空中

We是纯粹的电场能量，在各向同性的电介质中

这时We还包含了电介质极化能，在各向异性的电介质中D与E的方向不同，式应该采用以下形式

以上是对第六章静电场的概念解析和总结，感谢看到这里的朋友，希望对你有所帮助