线性粘弹性材料Maxwell模型在Abaqus中基于Prony的应用

线性粘弹性材料广义Maxwell模型

粘弹性材料概括了材料的弹性和粘性特征，由弹簧和阻尼分别表征。广义Maxwell模型是多支Maxwell模型的组合。如图所示：

其在时域的数学表达式为：
$$E(t)=E_{\infty }+\sum _{i=1}^N{E}_i{e}^{-t/t_{Ri}}\text{\hspace{1em}(1)}$$
频域的数学表达式为：
$$E(\omega )=E_{\infty }+\sum _{i=1}^N\frac{E_i\omega t_{Ri}i}{1+\omega t_{Ri}i}\text{\hspace{1em}(2)}$$
式中：
$E_{\infty }——$平衡模量；
$E_i——$第$i$时刻的松弛强度
$t_{Ri}——$第$i$时刻的松弛时间，$t_{Ri}={\eta }_i/E_i$
$i——$为虚数单位

Abaqus中的Prony 级数

引入$E_0=E_{\infty }+{\sum }_{i=1}^N{E}_i$，则$m_i=E_i/E_0$
方程（1）可写做：
$$E(t)=E_0(1-\sum _{i=1}^N{m}_i)+\sum _{i=1}^N{m}_i{E}_0{e}^{-t/t_{Ri}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
由弹性模量之间的关系：
$$E=3K(1-2\nu )\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$E=2G(1+\nu )\text{\hspace{1em}(5)}$$
可以计算剪切模量和体积模量。
$$G(t)=G_0(1-\sum _{i=1}^N{g}_i)+\sum _{i=1}^N{g}_i{G}_0{e}^{-t/t_{Ri}}\text{\hspace{1em}(6)}$$
$$K(t)=K_0(1-\sum _{i=1}^N{k}_i)+\sum _{i=1}^N{k}_i{K}_0{e}^{-t/t_{Ri}}\text{\hspace{1em}(7)}$$
在Abaqus中粘弹性参数需要输入Elastic和Viscoelastic

Elastic中

Viscoelastic中

特别注意Abaqus中，Prony为归一化参数，输入$g_i,k_i,t_{Ri}$ 有时体积模量为常数，此时$k_i=0$

例子

弹性模量为Maxwell模型：

N	$E$	$t_{Ri}$
1	11455.3	$2.54\ast 10^{-6}$
2	1.005	0.0156
3	0.256	0.0637
4	0.101	0.234
$\infty$	0.01
$\nu$	0.35

最终输入为

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