【运筹学】由原问题直接写出对偶问题
《运筹学》第二章，对偶问题。本篇文章的目标是，找到原问题与对偶问题的规律，给定原问题，快速写出其对偶问题（在考试中可以节省时间）。
该方法是同学给我讲的，在此感谢。
以《运筹学基础及其应用(胡运权)》第二章例2为例：
min z = 7 x 1 + 4 x 2 − 3 x 3 s . t . { − 4 x 1 + 2 x 2 − 6 x 3 ≤ 24 − 3 x 1 − 6 x 2 − 4 x 3 ≥ 15 5 x 2 + 3 x 3 = 30 x 1 ≤ 0 , x 2 无约束 , x 3 ≥ 0 \min z = 7x_1+4x_2-3x_3 \\ s.t. \begin{cases} -4x_1+2x_2-6x_3 \leq24 \\ -3x_1-6x_2-4x_3 \geq 15 \\ 5x_2+3x_3 = 30 \\ x_1 \leq 0, x_2无约束,x_3 \geq0 \end{cases} minz=7x1+4x2−3x3s.t.⎩ ⎨ ⎧−4x1+2x2−6x3≤24−3x1−6x2−4x3≥155x2+3x3=30x1≤0,x2无约束,x3≥0
要求写出它的对偶问题。当然可以用书上的方法，不再赘述。这里我们掌握一个规律，叫做“大同小异”，有了这个规律可以直接写出它的对偶问题。
“小”，即原问题是求最小值，“异”，即变化。具体要变化什么，且看下文。
首先，写出系数矩阵 A A A，向量 B B B和 C C C：
A = [ − 4 2 − 6 − 3 − 6 − 4 0 5 3 ] , B = [ 24 15 30 ] , C = [ 7 4 − 3 ] A= \begin{bmatrix} -4 & 2 & -6 \\ -3 & -6 & -4 \\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 24 \\ 15 \\ 30 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 7 & 4 & -3 \end{bmatrix} A=⎣ ⎡−4−302−65−6−43⎦ ⎤,B=⎣ ⎡241530⎦ ⎤,C=[74−3]
对偶问题的矩阵
A T = [ − 4 − 3 0 2 − 6 5 − 6 − 4 3 ] , C T = [ 7 4 − 3 ] , B T = [ 24 15 30 ] A^T= \begin{bmatrix} -4 & -3 & 0 \\ 2 & -6 & 5 \\ -6 & -4 & 3 \end{bmatrix}, C^T = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}, B^T = \begin{bmatrix} 24 & 15 & 30 \end{bmatrix} AT=⎣ ⎡−42−6−3−6−4053⎦ ⎤,CT=⎣ ⎡74−3⎦ ⎤,BT=[241530]
先把对偶问题的大概框架写好：
max w = 24 y 1 + 15 y 2 + 30 y 3 s . t . { − 4 y 1 − 3 y 2 + 0 y 3 7 2 y 1 − 6 y 2 + 5 y 3 4 − 6 y 1 − 4 y 2 + 3 y 3 − 3 y 1 y 2 y 3 \max w = 24y_1+15y_2+30y_3 \\ s.t. \begin{cases} -4y_1-3y_2+0y_3 \quad 7 \\ 2y_1-6y_2+5y_3 \quad 4 \\ -6y_1-4y_2+3y_3 \quad -3 \\ y_1 \quad y_2 \quad y_3 \end{cases} maxw=24y1+15y2+30y3s.t.⎩ ⎨ ⎧−4y1−3y2+0y372y1−6y2+5y34−6y1−4y2+3y3−3y1y2y3
也就是不知道约束条件和变量的符号。
记住以下几点：
-
原问题第 i i i个变量符号对应对偶问题第 i i i个约束，同样，
原问题第 i i i个约束对应对偶问题第 i i i个变量符号。
二者的大于或小于符号方向有关联。
x 1 ⟷ − 4 y 1 − 3 y 2 + 0 y 3 x 2 ⟷ 2 y 1 − 6 y 2 + 5 y 3 x 3 ⟷ − 6 y 1 − 4 y 2 + 3 y 3 y 1 ⟷ − 4 x 1 + 2 x 2 − 6 x 3 y 2 ⟷ − 3 x 1 − 6 x 2 − 4 x 3 y 3 ⟷ 5 x 2 + 3 x 3 x_1 \longleftrightarrow -4y_1-3y_2+0y_3\\ x_2 \longleftrightarrow 2y_1-6y_2+5y_3\\ x_3 \longleftrightarrow -6y_1-4y_2+3y_3 \\ y_1 \longleftrightarrow -4x_1+2x_2-6x_3\\ y_2 \longleftrightarrow -3x_1-6x_2-4x_3 \\ y_3 \longleftrightarrow 5x_2+3x_3 x1⟷−4y1−3y2+0y3x2⟷2y1−6y2+5y3x3⟷−6y1−4y2+3y3y1⟷−4x1+2x2−6x3y2⟷−3x1−6x2−4x3y3⟷5x2+3x3 -
“小异”，原问题求最小值。那么
原问题第 i i i个变量符号与对偶问题第 i i i个约束符号相反；
∵ x 1 ≤ 0 , ∴ − 4 y 1 − 3 y 2 + 0 y 3 ≥ 7 ; ∵ x 2 无约束 , ∴ 2 y 1 − 6 y 2 + 5 y 3 = 4 ; ∵ x 3 ≥ 0 , ∴ − 6 y 1 − 4 y 2 + 3 y 3 ≤ − 3 ; \because x_1 \leq0, \therefore -4y_1-3y_2+0y_3 \geq 7;\\ \because x_2 无约束, \therefore 2y_1-6y_2+5y_3 = 4;\\ \because x_3 \geq0, \therefore -6y_1-4y_2+3y_3 \leq -3; ∵x1≤0,∴−4y1−3y2+0y3≥7;∵x2无约束,∴2y1−6y2+5y3=4;∵x3≥0,∴−6y1−4y2+3y3≤−3;因为已经变过一次了，所以原问题第 i i i个约束与对偶问题第 i i i个变量符号相同。只记前面一条即可。
∵ − 4 x 1 + 2 x 2 − 6 x 3 ≤ 24 , ∴ y 1 ≤ 0 ; ∵ − 3 x 1 − 6 x 2 − 4 x 3 ≥ 15 , ∴ y 2 ≥ 15 ; ∵ 5 x 2 + 3 x 3 = 30 , ∴ y 3 无约束 ; \because -4x_1+2x_2-6x_3 \leq24, \therefore y_1 \leq 0;\\ \because -3x_1-6x_2-4x_3 \geq 15, \therefore y_2 \geq 15;\\ \because 5x_2+3x_3 = 30, \therefore y_3无约束; ∵−4x1+2x2−6x3≤24,∴y1≤0;∵−3x1−6x2−4x3≥15,∴y2≥15;∵5x2+3x3=30,∴y3无约束; -
“大同”，原问题求最大值。那么
原问题第 i i i个变量符号与对偶问题第 i i i个约束符号相同；
所以原问题第 i i i个约束与对偶问题第 i i i个变量符号相反，
因为必须变化一次。
我们首先都讨论约束条件的符号方向，再考虑变量的符号方向，这样不容易乱。
这样对偶问题也就写出来了
max w = 24 y 1 + 15 y 2 + 30 y 3 s . t . { − 4 y 1 − 3 y 2 + 0 y 3 ≥ 7 2 y 1 − 6 y 2 + 5 y 3 = 4 − 6 y 1 − 4 y 2 + 3 y 3 ≤ − 3 y 1 ≤ 0 , y 2 ≥ 0 , y 3 无约束 \max w = 24y_1+15y_2+30y_3 \\ s.t. \begin{cases} -4y_1-3y_2+0y_3 \geq 7 \\ 2y_1-6y_2+5y_3 = 4 \\ -6y_1-4y_2+3y_3 \leq -3 \\ y_1 \leq0, y_2 \geq0, y_3无约束 \end{cases} maxw=24y1+15y2+30y3s.t.⎩ ⎨ ⎧−4y1−3y2+0y3≥72y1−6y2+5y3=4−6y1−4y2+3y3≤−3y1≤0,y2≥0,y3无约束
可以再看一道题，选自《运筹学习题集(胡运权主编)》2.6(a)，也是一道“小异”：
min z = 3 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 s . t . { x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 ≤ 3 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 ≥ − 5 2 x 1 − 3 x 2 − 7 x 3 − 4 x 4 = 2 x 1 ≥ 0 , x 2 , x 3 无约束 , x 4 ≤ 0 \min z = 3x_1+2x_2-3x_3 +4x_4\\ s.t. \begin{cases} x_1-2x_2+3x_3 +4x_4\leq3 \\ x_2+3x_3+4x_4 \geq -5 \\ 2x_1-3x_2-7x_3-4x_4 = 2 \\ x_1 \geq 0, x_2, x_3无约束,x_4 \leq0 \end{cases} minz=3x1+2x2−3x3+4x4s.t.⎩ ⎨ ⎧x1−2x2+3x3+4x4≤3x2+3x3+4x4≥−52x1−3x2−7x3−4x4=2x1≥0,x2,x3无约束,x4≤0
首先，写出系数矩阵 A A A，向量 B B B和 C C C：
A = [ 1 − 2 3 4 0 1 3 4 2 − 3 − 7 − 4 ] , B = [ 3 − 5 2 ] , C = [ 3 2 − 3 4 ] A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3& 4 \\ 0 & 1 & 3& 4 \\ 2 & -3 & -7 & -4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -3 & 4 \end{bmatrix} A=⎣ ⎡102−21−333−744−4⎦ ⎤,B=⎣ ⎡3−52⎦ ⎤,C=[32−34]
对偶问题的矩阵
A T = [ 1 0 2 − 2 1 − 3 3 3 − 7 4 4 − 4 ] , C T = [ 3 2 − 3 4 ] , B T = [ 3 − 5 2 ] A^T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -3 \\ 3 & 3 & -7 \\ 4 & 4& -4 \end{bmatrix}, C^T = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}, B^T = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 2 \end{bmatrix} AT=⎣ ⎡1−23401342−3−7−4⎦ ⎤,CT=⎣ ⎡32−34⎦ ⎤,BT=[3−52]
答案是
max w = 3 y 1 − 5 y 2 + 2 y 3 s . t . { y 1 + 0 y 2 + 2 y 3 ≤ 3 − 2 y 1 + y 2 − 3 y 3 = 2 3 y 1 + 3 y 2 − 7 y 3 = − 3 4 y 1 + 4 y 2 − 4 y 3 ≥ 4 y 1 ≤ 0 , y 2 ≥ 0 , y 3 无约束 \max w = 3y_1-5y_2+2y_3 \\ s.t. \begin{cases} y_1+0y_2+2y_3 \leq 3 \\ -2y_1+y_2-3y_3 = 2 \\ 3y_1+3y_2-7y_3 = -3 \\ 4y_1+4y_2-4y_3 \geq 4 \\ y_1 \leq0, y_2 \geq0, y_3无约束 \end{cases} maxw=3y1−5y2+2y3s.t.⎩ ⎨ ⎧y1+0y2+2y3≤3−2y1+y2−3y3=23y1+3y2−7y3=−34y1+4y2−4y3≥4y1≤0,y2≥0,y3无约束
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