线性目标规划（线性目标规划、图解法、单纯形法）

线性目标规划

数学模型

• 普通线性规划的不足

  • 不能处理多目标的优化问题
  • 不允许约束资源有丝毫超差

• 实际上工厂在作决策时，还要考虑市场等一系列其他条件：

  • 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，故考虑产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ
  • 超过计划供应的原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度增加
  • 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班
  • 应尽可能达到并超过计划利润指标56元

  因此考虑产品决策时，为多目标决策问题。在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品Ⅱ的产量不低于产品I的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求决策方案。

• 不考虑市场等其他条件时，模型及最优解
  $$\begin{array}{l}\max z=8x_1+10x_2\\ \{\begin{array}{c}2x_1+x_2\le 56\\ x_1+2x_2\le 70\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}\end{array}\begin{array}{l}\stackrel{\text{最优解}}{⟹}{x}^{\ast }=(4,3{)}^T\\ \stackrel{\text{最优值}}{⟹}{z}^{\ast }=62\end{array}$$

• 目标规划数学模型概念

  • 正负偏差变量$d^{+},d^{-}$
    • $d^{+}$：决策值超过目标值的部分
    • $d^{-}$：决策值未达到目标值的部分
    • 决策值不可能同时超过目标值又没有达到目标值，即$d^{+}\cdot d^{-}=0$
  • 绝对（硬）约束和目标（软）约束
    • 绝对约束：红线，底线，严格遵守，不可逾越
    • 目标约束：可在小范围内调节（具体问题具体分析，但总归不大，类似于“邻域”的感觉）
  • 优先因子：决策者在要求达到各个目标时，有主次轻重的不同。第一位达到的目标赋予优先因子$P_1$，次位的目标赋予优先因子$P_2$，$\cdots$，且满足$P_k\gg P_{k+1},k=1,2,\cdots ,K$
  • 权系数：若要区别相同优先因子的两个目标的差别，可以分别赋予不同的权系数${\omega }_j$

• 考虑多目标规划

  • 约束条件

    1. 看绝对约束：$2x_1+x_2\le 11$，这部分不进行处理

    2. 对目标约束按优先级从高到低一次判断，按正常情况列出方程，一般视角下建模
       $$\begin{array}{cl}& P_1:x_1\le x_2\\ & P_2:x_1+2x_2\le 10\\ & P_3:8x_1+10x_2\ge 56\end{array}$$

    3. 转化为目标约束：变量部分+偏差=常数部分
       KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 17: … \begin{array}{&̲&} &(x_1-x_2)+…

    4. 最终约束条件
       $$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 11\\ x_1-x_2+d_1^{-}-d_1^{+}=0\\ x_1+2x_2+d_2^{-}-d_2^{+}=10\\ 8x_1+10x_2+d_3^{-}-d_3^{+}=56\\ x_1,x_2\ge 0,d_i^{-}\ge 0,d_i^{+}\ge 0\end{array}$$

  • 目标函数，三种基本形式$\min z=f(d^{+},d^{-})$

    • 要求恰好达到目标值，正负偏差变量都要尽可能小
      $$\min z=f(d^{+}+d^{-})$$

    • 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差尽可能小
      $$\min z=f(d^{+})$$

    • 要求超过目标值，即超过量不限，但是负偏差变量要尽可能小
      $$\min z=f(d^{-})$$

    • 原问题
      $$\min z=P_1{d}_1^{+}+P_2(d_2^{-}+d_2^{+})+P_3{d}_3^{-}$$
      注：$P_1$：产品Ⅱ的产量不低于产品I的产量

      注：$P_2$：其次是充分利用设备有效台时，不加班

      注：$P_3$：再次是利润额不小于56元

• 一般数学模型
  $$\begin{array}{l}\min z=\sum _{l=1}^L{P}_l\sum _{k=1}^K({\omega }_{lk}^{-}{d}_k^{-}+{\omega }_{lk}^{+}{d}_k^{+})\\ \{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^n{c}_{kj}{x}_j+d_k^{-}-d_k^{+}=g_k,k=1,\cdots ,K\\ \sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le (=,\ge )b_i,i=1,\cdots ,m\\ x_j\ge 0,j=1,\cdots ,n\\ d_k^{-},d_k^{+}\ge 0,k=1,\cdots ,K\end{array}\end{array}$$

图解法

• 主要针对二维情况

• 画图原则

  • 按优先级从高到低画（含权系数）
  • 画一条线判断一条线

  

  注意思考对问题进行建模的过程，参考视频

  

  一定要把所有偏差变量讨论完！

解目标规划的单纯形法

• 求出的解为满意解。计算方法与普通单纯形法和大M法完全一致，只需要满足$P_1\gg P_2\gg \cdots$即可

• e.g. 对于$\min z=P_1{d}_1^{+}+P_2(d_2^{-}+d_2^{+})+P_3{d}_3^{-},s.t.\{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 11\\ x_1-x_2+d_1^{-}-d_1^{+}=0\\ x_1+2x_2+d_2^{-}-d_2^{+}=10\\ 8x_1+10x_2+d_3^{-}-d_3^{+}=56\\ x_1,x_2\ge 0,d_i^{-}\ge 0,d_i^{+}\ge 0\end{array}$

  1. 化标准型
     $$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3=11\\ x_1-x_2+d_1^{-}-d_1^{+}=0\\ x_1+2x_2+d_2^{-}-d_2^{+}=10\\ 8x_1+10x_2+d_3^{-}-d_3^{+}=56\\ x_1,x_2\ge 0,d_i^{-}\ge 0,d_i^{+}\ge 0\end{array}$$

  2. 画单纯形表

注：在表3中非基变量$d_3^{+}$的 检验数为0，表示存在多重满意解，将其作为换入变量可以计算$\theta$得到$d_1^{-}$为换出变量，从而求得两个满意解$x^{\ast }=(2,4{)}^T$和$x^{\ast }=(10/3,10/3{)}^T$。此外，这两点的凸线性组合都是满意解