【模板】拉格朗日插值

【模板】拉格朗日插值

不会中国剩余定理的戳 $\to$ 【模板】中国剩余定理

Part 1. 拉格朗日插值是干什么的

用于求解如下的问题：

给出 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$，保证 $x_i$ 互不相等，记最多 $n-1$ 次的多项式函数 $f(x)$ 经过这 $n$ 个点，求出 $f(k)$。

Part 2. 拉格朗日插值

对于任意的 $a$，我们都有 $f(x)\equiv f(a)(\mathrm{mod}x-a)$。
那么根据中国剩余定理（CRT），可以得到关于 $f(x)$ 的线性同余方程组：

$$\{\begin{array}{l}f(x)\equiv y_1(\mathrm{mod}x-x_1)\\ f(x)\equiv y_2(\mathrm{mod}x-x_2)\\ f(x)\equiv y_3(\mathrm{mod}x-x_3)\\ ⋮\\ f(x)\equiv y_n(\mathrm{mod}x-x_n)\end{array}$$

根据中国剩余定理，我们设 $M=\prod _{i=1,x_i\ne x}^n(x-x_i)$，对应地 $m_i=\frac{M}{x-x_i}$（这是 CRT 基础内容）。
则 $m_i$ 在模 $x-x_i$ 意义下的逆元为：
$$\mathrm{inv}(m_i)=\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)$$
由于线性同余方程组在模 $M$ 下有唯一解，故得到拉格朗日插值表达式为：
$$f(x)\equiv \sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}(\mathrm{mod}M)$$

考虑我们要求出 $f(k)$，带入 $x=k$ 即可。求解逆元可以考虑先将分子与分母处理完，再求解逆元。
时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。

#include
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+5;
inline int read(){
    char op=getchar();
    int w=0,s=1;
    while(op<'0'||op>'9'){
        if(op=='-') s=-1;
        op=getchar();
    }
    while(op>='0'&&op<='9'){
        w=(w<<1)+(w<<3)+op-'0';
        op=getchar();
    }
    return w*s;
}
const int mod=998244353;
int Mul(int a,int b){return (a%mod*b%mod)%mod;}
int Add(int a,int b){return (a+b)%mod;}
int Dec(int a,int b){return (a-b+mod)%mod;}
int Pow(int a,int k){
    int ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=Mul(ans,a);
        a=Mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
int inv(int x){return Pow(x,mod-2);}
int x[N],y[N],n,m;
int solve(int i){
    int ans=y[i],s1=1,s2=1;
    for(register int j=1;j<=n;j++){
        if(i==j) continue;
        s1=Mul(s1,m-x[j]);
        s2=Mul(s2,x[i]-x[j]);
    }
    ans=Mul(ans,Mul(s1,inv(s2)));
    return ans;
}
signed main(){
    n=read(),m=read();
    int ans=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),y[i]=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) ans=Add(ans,solve(i));
    printf("%lld\n",Add(ans,mod));
}