渐近线学习习题

前置知识：渐近线学习

求曲线$y=x{e}^{\frac{2}{x}}+1$的渐近线。

解：
\qquad 无定义点$x=0$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x{e}^{\frac{2}{x}}+1)=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x{e}^{\frac{x}{2}}+1)=+\infty$

\qquad 所以竖直渐近线为$x=0$

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }(x{e}^{\frac{2}{x}}+1)=\infty$，所以没有水平渐近线

$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x{e}^{\frac{2}{x}}+1}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(e^{\frac{2}{x}}+\frac{1}{x})=1$

$b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx]=\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{\frac{2}{x}}+1-x=1+\underset{x\to \infty }{\lim }e(e^{\frac{2}{x}}-1)=1+\underset{x\to \infty }{\lim }2\cdot \frac{2}{x}=1+2=3$

\qquad 所以斜渐近线为$y=x+3$

\qquad 综上所述，$y=x{e}^{\frac{2}{x}}+1$的渐近线有竖直渐近线$x=0$和斜渐近线$y=x+3$