渐近线学习

渐近线

竖直渐近线

若$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to a^{-}}{\lim }=\infty$，则称$x=a$为$y=f(x)$的一条竖直渐近线。

水平渐近线

若$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$，则称$y=b$是$y=f(x)$的一条水平渐近线。

斜渐近线

若$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=k\ne 0,\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-kx]=b$，

或$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=k\ne 0,\underset{x\to -\infty }{\lim }[f(x)-kx]=b$，

则称$y=kx+b$是$y=f(x)$的一条斜渐近线。

例题

题1： $y=\frac{e^x}{x-1}$的竖直渐近线为$\underline{}$。

解：无定义点$x=1$，$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^x}{x-1}=\infty$，所以其竖直渐近线为$x=1$。

题2： $y=\frac{\sin x}{x(2x-1)}$的水平渐近线为$\underline{}$。

解：$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2x-1}=0$，故水平渐近线为$y=0$。

题3： 求函数$f(x)=\frac{(x-1{)}^3}{(x+1{)}^2}$的斜渐近线。

解：
\qquad 因为
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1,\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-x]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-5x^2+3x-2}{x^2+2x+1}=-5$$

\qquad 所以$y=x-5$为$y=f(x)$的斜渐近线。