振动力学——1.单自由度系统自由振动

1.单自由度系统无阻尼自由振动

图1-1 单自由度系统

单自由度系统如图1-1所示，设x为质量块位置，以质量块静平衡位置为原点，λ为静变形，当受到初始扰动时，有牛顿第二定律，得：

  (1-1)

 

由于静平衡位置有：

  (1-2)

 

可得自由振动微分方程：

  (1-3)

 

设，可得：

 

 (1-4)

 

式(1-4)为二阶常系数齐次线性微分方程，通解形式为，c,s为待定系数。将通解代入式(1-4)，可得特征方程：

 

 (1-5)

解此特征方程，可得特征根s1,2=±iω0；通解可写成：

 

进一步利用欧拉公式：

 

  (1-6)

 式(1-6)中A代表单自由度系统无阻尼自由振动的振幅，φ代表初始相位。

  (1-7)

 固有频率ω0为系统固有数值特征，与系统是否振动以及如何振动无关。

振幅A与初相位φ为非系统固有数字特征，与系统所受激励和初始状态有关。

考虑零时刻初始条件，零时刻位移：零时刻速度，代入(1-6)式有：

  

 单自由度系统零初始条件下自由振动：

  (1-8)

 

由式(1-8)可知，振动解是正弦项和余弦项的叠加。因此，无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。

对于初始条件，可以认为是外界能量传入了系统，初始位移即传入了弹性势能，初始速度即传入了动能。

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  参考：振动力学_上海交通大学_中国大学MOOC(慕课)