《信号与系统》解读 第3章 强大的傅里叶时域频域分析工具-1：深入理解信号的时域与频域，需要从熟悉的声音信号入手
目录
1. 信号与系统的组成
1.1 什么是信号？
1.2 什么是系统？
2. 声音信号的时域表现
2.1 时域波形的定义
2.2 声音信号的时域波形
3. 声音信号的频率组成
3.1 单音：单一频率的声音
3.2 和声：多种频率声音的混合
3.3 音乐：不同单音或和声的有机组合
3.4 声音信号的频率范围
4. 波的叠加原理
4.1 同频波的时域放大叠加： 声音的叠加
4.2 同频波的时域抵消叠加： 声音的抵消
4.3 不同频率波的时域叠加
5. 频域分析
5.1 为什么需要频率分析？
5.2 信号的频率组成？
6. 时域与频域转换的数学工具
6.1 傅里叶分析的强大能力
6.2 案例演示
1. 信号与系统的组成
1.1 什么是信号？
- 广义信号：是运载消息的工具，是消息的载体。从广义上讲，根据用途分为光信号、电信号、温度、压力、流量，自然界的声音信号等。
- 狭义信号：是指随着时间而变化的电压或电流信号。电信号可以通过幅度、频率、相位的变化来表示不同的消息。
本文以我们熟悉的声音信号来阐述关于电信号的最基础、也是最核心的两个概念：信号的频率和频域。
因为声音信号与电信号都具有“波”的特性！
频域与时域其实是分析同一信号的两个不同的方面，并不是两种不同类型的信号。
时域波形：是信号外在的综合表现，时域波形是时间t为自变量，幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。有时候也称为时域信号。
频域频谱：是信号内在的成分组成。频域频谱是组成的频率分量f为自变量，幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。有时候也称为频率信号。
1.2 什么是系统？
- 广义系统：对信号进行运算、处理的实体称为系统。
- 狭义系统： 在《系统与系统》中，把能加工、变换电信号的实体称作“系统”。整个信号与系统就围绕着电信号的幅度、频率、相位来进行的！！
2. 声音信号的时域表现
2.1 时域波形的定义
是描述数学函数或物理信号对时间的关系。是信号外在的综合表现。
时域波形是时间t为自变量，幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。表达信号幅度随着时间的变化的规律。
若考虑离散时间，时域中的函数或信号，在各个离散时间点的数值均为已知。
若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知。
在研究时域的电信号时，常会用示波器来观察电信号时域的波形。
2.2 声音信号的时域波形
声音（sound)是由物体振动产生的声波。
是通过介质（空气或固体、液体）传播并能被人或动物听觉器官所感知的波动现象。
最初发出振动（震动）的物体叫声源。
这是声音信号时域波形，是声音信号外在的表现。
3. 声音信号的频率组成
声音以波的形式振动（震动）传播。
自然界的声音是多种不同频率基本的声音信号的混合而成。
每一种基本的声音信号就是特定频率的正弦波
正弦波是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名。
任何复杂信号——例如音乐信号，都可以看成由许许多多频率不同、大小不等的正弦波复合而成。
这个结论很重要，更进一步的理解这个概率，不妨看一下钢琴弹出的声音
3.1 单音：单一频率的声音
钢琴上不同键盘代表不同频率的声音：
不同乐器发出声音的频率是不一样的：
3.2 和声：多种频率声音的混合
3.3 音乐：不同单音或和声的有机组合
它的基本要素包括音的高低，音的长短，音的强弱和音色。
由这些基本要素相互结合，形成 音乐的常用的“形式要素”，例如：节奏，曲调，和声，以及力度，速度，调式，曲式，织体等。
构成音乐的形式要素，就是音乐的表现手段。不同类型音乐可能会强调或忽略其中的某些元素。
3.4 声音信号的频率范围
频率小于20Hz的信号称为亚音信号，或称为次音信号；
频率高于20KHz的信号称为超音频信号，或称超声波信号。
频率范围为20Hz-20kHz的信号人的听觉器官能感知的声音频率, 称为音频信号；
虽然人的发音器官发出的声音频率是80Hz-3400Hz，但人说话的信号频率通常为300-3000Hz，人们把在这种频率范围的信号称为话音信号；
4. 波的叠加原理
如果有两列以上的同类波在空间相遇，在共存的空间内，总的波是各个分波的矢量和（即相加时不仅考虑振幅，还考虑相位），而各个分波相互并不影响，分开后仍然保持各自的性质不变。
叠加后的外显的波形，就是时域波形。
波的干涉：物理学现象。频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且振动加强的区域和振动减弱的区域相互隔开。这种现象叫做波的干涉。波的干涉所形成的图样叫做干涉图样。
4.1 同频波的时域放大叠加： 声音的叠加
4.2 同频波的时域抵消叠加： 声音的抵消
同频、同相位的波可以叠加在一起，这很容易理解。
4.3 不同频率波的时域叠加
不同频率的波的叠加比较复杂，如下图所示，叠加后的波形是就是时域波形。
5. 频域分析
5.1 为什么需要频率分析
（1）频率是信号的本质组成
时域信号的表现是信号的外在表现，而信号的频率分量组成才是信号内在的本质。通过频域分析，可以理解信号的本质。
（2）通过频率分析信号的本质特性
如通过频域分析，可以看出：女性声音相对于男性，高频声音信号比男性多，且高频信号的幅度比男性高。
而男性的声音，低频分量比女性多。
（3）通过频率分量，可以去除特定频率的噪声信号
很显然，直接时域信号，是无法去除噪声的。
当通过频率分析，可以发现，噪声的频率是确定的，就可以通过“滤波器“、”，直接滤除特定频率的噪声信号，留下原先的有用的声音信号。
去噪非常方便！！！
5.2 信号的频率组成：频谱？
（1）时域信号的频率分解与频率分量的组成
结论：
- 不同频率的信号是可以混在一起的，
- 且只要方法得当，可以把原先不同频率的信号分离出来。
（2）不同频率分量的幅度：频域信号
频域frequency domain 是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。
频域特性：信号是由哪些单一频率的信号合成的，以及每个单一频率的比重/幅度。
- 单音（或称为单频率）信号的频域表示
- 含有2个频率分量的频域表示
- 含有多个连续的频率分量的频域表示
6. 时域与频域转换的数学工具
频谱分析：是一种将复杂信号分解为较简单信号的技术。许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和。
找出一个信号在不同频率下的信息（如振幅、功率、强度或相位等）的做法即为频谱分析。
傅里叶分析方法：时域到频域的转换、时域到频率转换的强大数学工具！是信号与系统中几大基本分析工具之一。
傅里叶分析理论基础：任何信号，都可以表示为不同频率的复指数信号（正弦信号）的无限叠加！
包括：连续周期信号、离散周期信号、连续非周期信号、离散非周期信号。
6.1 傅里叶分析的强大能力
（1）强大的时域和频域分析能力
不同时域信号内部的频率组成是不一样的，通过统一的傅里叶变换数学工具，可以分析任何时域信号的内部频率组成。
（2）强大的信号合成与分解能力
可以把任何时域信号分解成频域的不同频率的信号，也可以把频域的不同的频率的信号合成为任意的时域信号。
（3）精确的量化能力
傅里叶不仅仅能否分析时域信号内含多少频率分量F(t)，还能够分析不同频率分量的幅度A（t）和相位P（t）。
频率分量、幅度分量、相位分量，可能是离散的，也可能是连续的！完全精确量化！
请参看后续文章，深入探讨傅里叶分析方法的详细内容。
这里只给出2个定性分析的案例演示。
6.2 案例演示
示例1：
蓝色的线：是不同频率分量的信号的各自的频率以及他们各自的幅度。
红色的线：是不用频率分量的信号的混合后的信号。
示例2：方波信号
方波信号由不同的频率、不同幅度的正弦波组成。
矩形脉冲：持续持续时间越短，能量密度越大，主瓣上的频率分量越多。
在模拟调制时，实际上是把每个频率分量都调制到高频载波上。但高频分量越高，对载波信号的频率要求就越高。
载波的频率越高，可以调制的基带信号的内含的频率分量就越多。