洛谷千题详解 | P1021 [NOIP1999 提高组] 邮票面值设计【C++、Pascal语言】

 

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题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

解析：

C++源码：

pascal语言：

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题目描述

给定一个信封，最多只允许粘贴 N 张邮票，计算在给定 K（N+K≤15）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值 MAX，使在 1 至 MAX 之间的每一个邮资值都能得到。

例如，N=3，K=2，如果面值分别为 1 分、4 分，则在1∼6 分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有 8 分、9 分和 12分）；如果面值分别为 1 分、3 分，则在 1∼7 分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当 N=3，K=2 时，7 分就是可以得到的连续的邮资最大值，所以 MAX=7，面值分别为 1 分、3 分。

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输入格式

2 个整数，代表 N，K。 

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输出格式

输出共 2 行。

第一行输出若干个数字，表示选择的面值，从小到大排序。

第二行，输出 MAX=S，S 表示最大的面值。

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输入输出样例

输入 #1复制

3 2

输出 #1复制

1 3
MAX=7

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解析：

一道很经典的题目，下面我们来分析下这种问题

这道题显然要先搜索出满足条件的面值组合，比如n=3,k=3时

在搜索时加入适当优化：

以n=3,k=3为例:第一个面值肯定为1，但是第二个面值只能是

但是第二个面值只能是2，3，4，因为面值为1的最多贴3张

贴满的最大值为3，要保证数字连续,那么第二个数字最大是4

所以我们可以得到规律，如果邮票张数为n，种类为k,那么从小到大的顺序，邮票a[i]的下一种面值的取值范围必然是f[i]+1到f[i]*n+1

深搜加动规

如果已知邮票的不同面值，可以用动态规划求出这些不同面值的邮票能组合出的最大连续数：

设dp[i]表示已知面值的邮票组合出面值为i所需要的最小邮票数，我们把已知的q种不同的邮票面值存在num中，则有状态转移方程：dp[i]=min(dp[i-f[j]]+1)

然后随着搜索不断枚举面值集合，同时更新最大值 #include

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C++源码：

#include
#include//头文件
using namespace std;
int a[17],n,k,ans[17],maxn;//a【】表示这种方法的邮票，ans【】表示如今取得的解即要输出的
int dp(int t,int mx){
    int f[50000];//f[i]为拼i所需的最少数的个数
    f[0]=0;//边界
    for(int i=1;i<=a[t]*n;i++)
      f[i]=50000;//赋初值赋一个尽可能地大就可以了
    for(int i=1;i<=t;i++)            //从第一位找到目前的位数把所有已找的邮票都枚举 
      for(int j=a[i];j<=a[t]*n;j++)   //因为不可能找到比自己小的数，所以从自己开始找 
        f[j]=min(f[j],f[j-a[i]]+1);    //比较上几次已找到的最小需要位数和即将要找的相比较，取较小值 
for(int i=1;i<=a[t]*n;i++)
      if(f[i]>n)//如果所需最小的个数大于n就意味着这种情况不符合，但f【i-1】是符合的不然f【i-1】就会判断所以不符合返回i-1
        return i-1;
    return a[t]*n;//如果到a【t】*n的f【i】都满足意味着能取到的最大连续数就是a【t】*n
}
void dfs(int t,int mx){              // 为什么全部找完：因为多几张邮票肯定比少几张邮票可能的情况多，所以全部找完是最好的  
    if(t==k+1){        //如果所有邮票数已经找完，那么就和 maxn比较谁更大   
        if(mx>maxn){
            maxn=mx;
            for(int i=1;i<=t-1;i++)
              ans[i]=a[i];} //保存所需要的邮票面值  
        return;
        }
    for(int i=a[t-1]+1;i<=mx+1;i++){  //继续找：为了避免重复，下一张邮票要比上一张邮票大，所以上边界是a[t-1]+1，同时它不能比最大连续值+1还大，不然最大连续值的下一个数就永远连不起来了 
      a[t]=i;
      int x=dp(t,mx);   //动归寻找此时的最大连续数 
      dfs(t+1,x);
    }
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    dfs(1,0);  //先从第一张开始找，第一张前面没有数，所以所连续的最大数为 0 
    for(int i=1;i<=k;i++)//输出 注意打空格以及大写换行即可
      cout<pascal语言： 
  
var
  a,g:array[1..10] of integer;
  f:array[0..2000] of integer;
  n,m,i,ans:integer;
//g数组存储答案，a数组存储当前搜到的方案，f数组用于动态规划，ans存储答案
function dp(l:integer):integer;
  var
    i,j:integer;
  begin
    for i:=1 to 2000 do f[i]:=maxint;
    f[0]:=0;
    for i:=1 to 2000 do begin
      for j:=1 to l do if a[j]>i then break
      else if f[i-a[j]]+1n then break
    end;
    exit(i-1)
  end;
//dp,求当前可以到达的最大面值
function dfs(h:integer):integer;
  var
    i,k:integer;
  begin
    k:=dp(h);
    if (k>=ans) and (h=m) then begin  //因为题目要求字典序最大，所以要用小于等于
      ans:=k;
      for i:=1 to m do g[i]:=a[i];
      exit
    end;  //更新答案
    if h=m then exit;
    for i:=a[h]+1 to k+1 do begin  //剪枝（否则状态是无穷多的）
      a[h+1]:=i;
      dfs(h+1);
      a[h+1]:=0
    end;
  end;
//暴力dfs
begin
  read(n,m);
  fillchar(a,sizeof(a),0);
  fillchar(g,sizeof(g),0);
  ans:=0;
  a[1]:=1;  //初始化
  dfs(1);
  for i:=1 to m do write(g[i],' ');
  writeln;
  write('MAX=',ans)
end.
 
  
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