关于图像变换的总结（仿射变换，刚体变换等）

一、常用的图像变换模型
:刚性变换、仿射变换、透视变换和非线形变换等。如下图所示：

进一步理解

(1) 刚体变换 
如果一幅图像中的两点间的距离经变换到另一幅图像中后仍然保持不变，则这种变换称为刚体变换(Rigid Transform)。刚体变换仅局限于平移、旋转和反转(镜像)。
(2)仿射变换
如果一幅图像中的直线经过变换到另一幅图像上仍为直线，并且保持平行关系，则这种变换称为仿射变换(Affine Transform。仿射变换适应于平移、旋转、缩放和反转(镜像)情况。
(3) 投影变换 
如果一幅图像中的直线经过后映射到另一幅图像上仍为直线，但平行关系基本不保持，则这种变换称为投影变换(Projective Transform )。

二、接下来主要讨论仿射变换
Affine Transformation是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线）。

仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）。如下图所示：

仿射变换用下式表示：

对上面表示的解释，如下图所示：

这和平时见到的仿射变换不太一样，但是差别也不大，只是矩阵部分最后多了一行元素，以构成齐次坐标。
所谓齐次坐标，简而言之，就是用N+1维来代表N维坐标。我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有
X = x/w
Y = y/w
例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，这样我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了。此外，我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

几种典型的仿射变换如下：
平移变换 Translation
将每一点移动(x+tx,y+ ty)，变换矩阵为：

平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，就是不会产生形变的理想物体。
效果如下：

缩放变换（Scale）
将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：

效果如下：

剪切变换（Shear）（关于这个，不是看得太明白，主要是剪切这个地方，在这里剪切是何意？）
变换矩阵为：

相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合

效果如下：

旋转变换（Rotation）
目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

效果如下：

组合（即多种变换同时进行，而不是单单执行一种变换）
旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：

相当于是先移动到中心节点，然后旋转，然后再移动回去。

一些常用变换矩阵如下：