math@间断点@微积分基本定理@变限积分求导公式
文章目录
- 间断点
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- 第一类间断点
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- 跳跃间断点
- 可去间断点
- 例
- 第二类间断点
- 微积分定理
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- 第一基本定理
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- 变上限积分函数的导数
- 定积分的角度
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- 原函数存在定理
- 应用
- 例
- 例
- 微积分第二基本定理
- 变限积分求导公式
-
- 例
- math@间断点@微积分基本定理@变限积分的求导公式
间断点
第一类间断点
跳跃间断点
- 函数的跳跃间断点只和某点(比如 x = x 0 x=x_0 x=x0处的左右极限有关,而和函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0有无定义或取值都无关
可去间断点
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另一个第一类间断点类别(可去间断点)
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f ( x ) 在 x = x 0 的某个去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) 内有定义 f(x)在x=x_0的某个去心邻域\mathring{U}(x_0,\delta)内有定义 f(x)在x=x0的某个去心邻域U˚(x0,δ)内有定义
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L x 0 = lim x → x 0 f ( x ) L_{x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) Lx0=x→x0limf(x)存在
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即 : lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) = L x 0 时 才有 : L x 0 = lim x → x 0 f ( x ) 即:\lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=\lim_{x\to{x_0^+}}f(x)=L_{x_0}时 \\ 才有:L_{x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) 即:x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)=Lx0时才有:Lx0=x→x0limf(x)
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往往分段函数有可能存在这类可去间断点
- f ( x ) = { 1 if x = 0 , x 2 if x ≠ 0. {\displaystyle f(x)= {\begin{cases} 1&{\text{if }}x=0, \\x^2&{\text{if }}x\neq 0. \end{cases}}} f(x)={1x2if x=0,if x=0.
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且 f ( x 0 ) ≠ L x 0 f(x_0)\neq{L_{x_0}} f(x0)=Lx0或 f ( x ) 在 x = x 0 f(x)在x=x_0 f(x)在x=x0处无定义,都属于可去间断点
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lim x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 − ) = A lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 + ) = B A ≠ B \lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-})=A \\ \lim_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+})=B \\A\neq{B} x→x0−limf(x)=f(x0−)=Ax→x0+limf(x)=f(x0+)=BA=B
例
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可去间断点
- f ( x ) = sin x x f(x)=\frac{\sin{x}}{x} f(x)=xsinx
- 在x=0处左右极限都为1
- 如果补充定义 f ( 1 ) = 1 如果补充定义f(1)=1 如果补充定义f(1)=1,则 f ( x ) f(x) f(x)在R上连续
- f ( x ) = sin x x f(x)=\frac{\sin{x}}{x} f(x)=xsinx
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跳跃间断点的案例( x = x 0 = 0 x=x_0=0 x=x0=0处)
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处处有定义,但是某点的极限不存在的案例:
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sgn ( x ) : = { − 1 if x < 0 , 0 if x = 0 , 1 if x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn} (x):={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\0&{\text{if }}x=0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}} sgn(x):=⎩ ⎨ ⎧−101if x<0,if x=0,if x>0.
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g ( x ) = { − 1 if x < 0 , 1 if x > 0. {\displaystyle \operatorname {g} (x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0, \\1&{\text{if }}x>0. \end{cases}}} g(x)={−11if x<0,if x>0.
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第二类间断点
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如果 f ( x ) 在 x = x 0 的某个去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) 内有定义 f(x)在x=x_0的某个去心邻域\mathring{U}(x_0,\delta)内有定义 f(x)在x=x0的某个去心邻域U˚(x0,δ)内有定义
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lim x → x 0 − f ( x ) 和 lim x → x 0 + f ( x ) 至少有一个 不存在 称 x = x 0 为 f ( x ) 的第二类间断点 \lim_{x\to{x_0^{-}}}f(x)和\lim_{x\to{x_0^{+}}}f(x)至少有一个\huge不存在 \\ 称x=x_0为f(x)的第二类间断点 x→x0−limf(x)和x→x0+limf(x)至少有一个不存在称x=x0为f(x)的第二类间断点
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第二类间断点由可以分为
- 无穷间断点
- 例如: f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1
- 振荡间断点
- 例如: g ( x ) = sin 1 x g(x)={\sin\frac{1}{x}} g(x)=sinx1,在x=0处为振荡间断点
- 例如: g ( x ) = sin 1 x g(x)={\sin\frac{1}{x}} g(x)=sinx1,在x=0处为振荡间断点
- …
- 无穷间断点
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微积分定理
第一基本定理
- 不定积分和定积分的关系
变上限积分函数的导数
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设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 设f(x)在[a,b]上连续 设f(x)在[a,b]上连续
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积分上限的函数 G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} G(x)=∫axf(t)dt
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G ( x ) 在 [ a , b ] 上可导 G(x)在[a,b]上可导 G(x)在[a,b]上可导
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G ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] G'(x)=\frac{d}{dx}\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=f(x),x\in[a,b] G′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x),x∈[a,b]
- 注意到定积分下限是 f ( x ) f(x) f(x)的定义区间的下限a
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定理表明
- ∫ a x f ( t ) d t 是 f ( x ) ( x ∈ [ a < b ] ) 的一个原函数 ∫ f ( x ) d x = ∫ a x f ( t ) d t + C , ( x ∈ [ a , b ] ) \int_{a}^{x}f(t)dt是f(x)(x\in[a
- ∫ a x f ( t ) d t 是 f ( x ) ( x ∈ [ a < b ] ) 的一个原函数 ∫ f ( x ) d x = ∫ a x f ( t ) d t + C , ( x ∈ [ a , b ] ) \int_{a}^{x}f(t)dt是f(x)(x\in[a
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证明:
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可以分为三个部分进行证明(区间内部@区间左边界@区间有边界)
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x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x∈(a,b)
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x = a x=a x=a
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x = b x=b x=b
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若 x ∈ ( a , b ) , 且 x + Δ x ∈ ( a , b ) 记 : Δ G ( x ) = G ( x + Δ x ) − G ( x ) = ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t = ∫ a x + Δ x f ( t ) d t + ∫ x a f ( t ) d t = ∫ x x + Δ x f ( t ) d t 由积分中值定理 : [ x , x + Δ x ] 存在一点 ξ , 使得 : Δ G ( x ) = ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( ξ ) Δ x 1 Δ x Δ G ( x ) = 1 Δ x ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( ξ ) Δ x → 0 时 , x + Δ x → x 又因为 ξ ∈ [ x , x + Δ x ] , 则 ξ → x ( Δ x → 0 ) 若x\in(a,b),且x+\Delta{x}\in(a,b) \\ 记:\Delta{G(x)}=G(x+\Delta{x})-G(x) \\=\displaystyle{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)dt}-\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} \\=\displaystyle{\int_{a}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} +\displaystyle{\int_{x}^{a}f(t)dt} \\=\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} \\由积分中值定理: [x,x+\Delta{x}]存在一点\xi,使得: \\ \Delta{G(x)}=\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt}=f(\xi)\Delta{x} \\ \frac{1}{\Delta{x}}\Delta{G(x)} =\frac{1}{\Delta{x}}\displaystyle{\int_{x}^{x+\Delta{x}}f(t)dt} =f(\xi) \\\Delta{x}\to{0}时,x+\Delta{x}\to{x} \\又因为\xi\in{[x,x+\Delta{x}]},则\xi\to{x}(\Delta{x}\to{0}) 若x∈(a,b),且x+Δx∈(a,b)记:ΔG(x)=G(x+Δx)−G(x)=∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=∫ax+Δxf(t)dt+∫xaf(t)dt=∫xx+Δxf(t)dt由积分中值定理:[x,x+Δx]存在一点ξ,使得:ΔG(x)=∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)ΔxΔx1ΔG(x)=Δx1∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)Δx→0时,x+Δx→x又因为ξ∈[x,x+Δx],则ξ→x(Δx→0)
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由导数的定义 ( 极限 ) , 将 ξ 视为变量 G ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ G ( x ) Δ x = lim ξ → x f ( ξ ) 由于 f ( x ) 在 [ a , b ] 内是连续的 , [ x , x + Δ x ] ⊂ ( a , b ) 自然也是连续的 根据一元连续函数的性质 , 那么有 lim ξ → x f ( ξ ) = f ( x ) ∴ G ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) ( x ∈ ( a , b ) 由导数的定义(极限),将\xi视为变量 \\ G^{'}(x)=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{G(x)}}{\Delta{x}} \\=\lim_{\xi\to{x}}f(\xi) \\由于f(x)在[a,b]内是连续的,[x,x+\Delta{x}]\sub(a,b)自然也是连续的 \\根据一元连续函数的性质,那么有\lim_{\xi\to{x}}f(\xi)=f(x) \\\therefore G'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)(x\in(a,b) 由导数的定义(极限),将ξ视为变量G′(x)=Δx→0limΔxΔG(x)=ξ→xlimf(ξ)由于f(x)在[a,b]内是连续的,[x,x+Δx]⊂(a,b)自然也是连续的根据一元连续函数的性质,那么有ξ→xlimf(ξ)=f(x)∴G′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)(x∈(a,b)
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进一步分类讨论 : x = a , 取 Δ x > 0 ; 可以得到右导数 G + ′ ( a ) = f ( a ) ; x = b , 取 Δ x < 0 ; 左导数 : G − ′ ( b ) = f ( b ) 从而得到 G ′ ( x ) = f ( x ) 进一步分类讨论: \\x=a,取\Delta{x}>0;可以得到右导数G'_+(a)=f(a); \\x=b,取\Delta{x}<0;左导数:G'_-(b)=f(b) \\从而得到G'(x)=f(x) 进一步分类讨论:x=a,取Δx>0;可以得到右导数G+′(a)=f(a);x=b,取Δx<0;左导数:G−′(b)=f(b)从而得到G′(x)=f(x)
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定积分的角度
- G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t = F ( x ) − F ( a ) G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=F(x)-F(a) G(x)=∫axf(t)dt=F(x)−F(a)
- G ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = ( F ( x ) − F ( a ) ) ′ = f ( x ) G'(x)=\frac{d}{dx}\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}=(F(x)-F(a))'=f(x) G′(x)=dxd∫axf(t)dt=(F(x)−F(a))′=f(x)
原函数存在定理
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变上限积分与原函数的关系
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设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ; G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t 设f(x)在[a,b]上连续;G(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} 设f(x)在[a,b]上连续;G(x)=∫axf(t)dt
- G ( x ) 就是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的一个原函数 G(x)就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 G(x)就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
应用
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如果 f ( x ) f(x) f(x)在区间 D = [ a , b ] D=[a,b] D=[a,b]上除了点 x = x 0 ∈ ( a , b ) x=x_0\in(a,b) x=x0∈(a,b)外均连续,而在 x = x 0 x=x_0 x=x0出 f ( x ) f(x) f(x)有跳跃间断点:
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记
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F ( x ) = ∫ c x f ( t ) d t F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt F(x)=∫cxf(t)dt
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∀ c ∈ D \forall c\in{D} ∀c∈D,均有结论
- F ( x ) 在 [ a , b ] F(x)在[a,b] F(x)在[a,b]上连续
- F ′ ( X ) = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , x ≠ x 0 F'(X)=f(x),x\in[a,b],x\neq{x_0} F′(X)=f(x),x∈[a,b],x=x0
- F − ′ ( x 0 ) = f ( x 0 − ) , F + ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + ) F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^{+}) F−′(x0)=f(x0−),F+′(x0)=f(x0+)
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例
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f ( x ) = { sin x , x ⩽ 0 e x , x > 0 记 : F ( x ) = ∫ − π x f ( t ) d t f(x)= \begin{cases} \sin{x},x\leqslant{0} \\ e^x,x>0 \end{cases} \\ 记:F(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)d{t} f(x)={sinx,x⩽0ex,x>0记:F(x)=∫−πxf(t)dt
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分段函数积分
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F ( x ) = ∫ − π x f ( t ) d t = { ∫ − π x sin t d t = − cos x − 1 ( x ⩽ 0 ) ∫ − π 0 sin t d t + ∫ 0 x e t d t = − 2 + e x − 1 = e x − 3 ( x > 0 ) F(x)=\int_{-\pi}^{x}f(t)d{t}= \begin{cases} \int_{-\pi}^{x}\sin{t}dt=-\cos{x}-1(x\leqslant{0}) \\ \int_{-\pi}^{0}\sin{t}dt+\int_{0}^{x}e^tdt=-2+e^{x}-1=e^x-3(x>0) \end{cases} F(x)=∫−πxf(t)dt={∫−πxsintdt=−cosx−1(x⩽0)∫−π0sintdt+∫0xetdt=−2+ex−1=ex−3(x>0)
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例
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设 f ( x ) f(x) f(x)在[a,b]上连续,且 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0, G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + ∫ b x 1 f ( t ) d t G(x)=\int_{a}^{x}f(t)d{t}+\int_{b}^{x}\frac{1}{f(t)}dt G(x)=∫axf(t)dt+∫bxf(t)1dt
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求证
- G ′ ( x ) ⩾ 2 G'(x)\geqslant{2} G′(x)⩾2
- 方程 G ( x ) = 0 G(x)=0 G(x)=0在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内仅有一个实根
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对 G ( x ) 对G(x) 对G(x)两边对x求导
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G ′ ( x ) = f ( x ) + 1 f ( x ) 由于 f ( x ) > 0 再由基本不等式得出 G ′ ( x ) ⩾ 2 f ( x ) ⋅ 1 f ( x ) = 2 G'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)} \\由于f(x)>0 \\ 再由基本不等式得出G'(x)\geqslant{2}\sqrt{f(x)\cdot{\frac{1}{f(x)}}}=2 G′(x)=f(x)+f(x)1由于f(x)>0再由基本不等式得出G′(x)⩾2f(x)⋅f(x)1=2
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由于 G ( a ) = ∫ b a 1 f ( t ) d t = − ∫ a b 1 f ( t ) d t < 0 G ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t > 0 故由零点定理知 , G ( x ) = 0 在 ( a , b ) 内至少存在一个根 而 G ′ ( x ) > 0 , G ( x ) 在 [ a , b ] 上单调增加 , 所以 G ( x ) = 0 在 ( a , b ) 内仅有一个根 由于G(a)=\int_{b}^{a}\frac{1}{f(t)}dt=-\int_{a}^{b}\frac{1}{f(t)}dt<0 \\ G(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt>0 \\故由零点定理知,G(x)=0在(a,b)内至少存在一个根 \\而G'(x)>0,G(x)在[a,b]上单调增加,所以G(x)=0在(a,b)内仅有一个根 由于G(a)=∫baf(t)1dt=−∫abf(t)1dt<0G(b)=∫abf(t)dt>0故由零点定理知,G(x)=0在(a,b)内至少存在一个根而G′(x)>0,G(x)在[a,b]上单调增加,所以G(x)=0在(a,b)内仅有一个根
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例
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lim x → 0 ( 1 x 2 ∫ cos x 1 e − t 2 d t ) \lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}d{t}\right) x→0lim(x21∫cosx1e−t2dt)
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容易发现上述极限是 0 0 型 考虑使用 L H o p i t a l 法则 由于 ( 可以令 u = cos x , 符合函数求导 ) d d x ∫ cos x 1 e − t 2 d t = − d d x ∫ 1 cos x e − t 2 d t = − d d u ∫ 1 u e − t 2 d t ⋅ d u d x = − ( e − u 2 ) ( − sin x ) = sin x e − cos 2 x 容易发现上述极限是\frac{0}{0}型 \\考虑使用LHopital法则 \\ 由于(可以令u=\cos{x},符合函数求导) \\ \frac{d}{dx}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}dt =-\frac{d}{dx}\int_{1}^{\cos{x}}e^{-t^2}dt \\=-\frac{d}{du}\int_{1}^{u}e^{-t^2}dt\cdot{\frac{du}{dx}} \\=-(e^{-u^2})(-\sin{x}) =\sin{x}e^{-\cos^{2}{x}} 容易发现上述极限是00型考虑使用LHopital法则由于(可以令u=cosx,符合函数求导)dxd∫cosx1e−t2dt=−dxd∫1cosxe−t2dt=−dud∫1ue−t2dt⋅dxdu=−(e−u2)(−sinx)=sinxe−cos2x
- t ∈ R cos t ∈ [ − 1 , 1 ] 被积分函数记为 f ( t ) = e − t 2 , 决定了曲边梯形的曲线 积分上下限没有必然的大小关系 但有时对调调整上下限取反会更加符合习惯和直观 t\in{R} \\\cos{t}\in{[-1,1]} \\ 被积分函数记为f(t)=e^{-t^2},决定了曲边梯形的曲线 \\积分上下限没有必然的大小关系 \\但有时对调调整上下限取反会更加符合习惯和直观 t∈Rcost∈[−1,1]被积分函数记为f(t)=e−t2,决定了曲边梯形的曲线积分上下限没有必然的大小关系但有时对调调整上下限取反会更加符合习惯和直观
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lim x → 0 ( 1 x 2 ∫ cos x 1 e − t 2 d t ) = lim x → 0 sin x e − cos 2 x 2 x = 1 2 e \lim\limits_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x^2}\int_{\cos{x}}^{1}e^{-t^2}d{t}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}e^{-\cos^2{x}}}{2x}=\frac{1}{2e} x→0lim(x21∫cosx1e−t2dt)=x→0lim2xsinxe−cos2x=2e1
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微积分第二基本定理
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也就是赫赫有名的牛顿-莱布尼兹公式
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如果 F ( x ) F(x) F(x)是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b],上的一个原函数
- ∫ a b f ( x ) d x = f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b}f(x)d{x}=f(x)dx=F(b)-F(a) ∫abf(x)dx=f(x)dx=F(b)−F(a)
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根据微积分第一基本定理:
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G ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t G(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt G(x)=∫axf(t)dt
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是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数
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两个原函数 F ( x ) − G ( x ) F(x)-G(x) F(x)−G(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上必定是某个常数C
- F ( x ) − G ( x ) = C ( a ∈ [ a , b ] ) F(x)-G(x)=C(a\in[a,b]) F(x)−G(x)=C(a∈[a,b])
- G ( x ) = F ( x ) + C G(x)=F(x)+C G(x)=F(x)+C
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G ( b ) = ∫ a b f ( x ) d x G ( a ) = 0 G ( b ) − G ( a ) = G ( b ) ∫ a b f ( x ) d x = G ( b ) − G ( a ) = [ F ( b ) + C ] − [ F ( a ) + C ] = F ( b ) − F ( a ) G(b)=\int_{a}^{b}f(x)dx \\ G(a)=0 \\G(b)-G(a)=G(b) \\ \int_{a}^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a) G(b)=∫abf(x)dxG(a)=0G(b)−G(a)=G(b)∫abf(x)dx=G(b)−G(a)=[F(b)+C]−[F(a)+C]=F(b)−F(a)
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记 : F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b 记:\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\\int_{a}^{b}f(x)dx=\left.F(x)\right|_{a}^{b} 记:F(x)∣ab=F(b)−F(a)∫abf(x)dx=F(x)∣ab
变限积分求导公式
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利用微积分第一基本定理以及复合函数求导准则,定积分的分段积分性质,可以得到公式
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设 F ( x ) = ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 x f ( t ) d t 设F(x)=\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{x}}f(t)dt 设F(x)=∫ϕ1(x)ϕ2xf(t)dt其中 f ( x ) 在 [ a , b ] f(x)在[a,b] f(x)在[a,b]上来连续
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可到函数 ϕ 1 ( x ) 和 ϕ 2 ( x ) \phi_1(x)和\phi_2(x) ϕ1(x)和ϕ2(x)的值域在[a,b]上
- 其中一个可能是常数,一样适用
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则函数 ϕ 1 ( x ) \phi_1(x) ϕ1(x)和 ϕ 2 ( x ) \phi_2(x) ϕ2(x)的公共定义域上有
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F ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( t ) d t = f ( ϕ 2 ( x ) ) ϕ 2 ′ ( x ) − f ( ϕ 1 ( x ) ) ϕ 1 ′ ( x ) = ∑ i = 1 2 ( − 1 ) i f ( ϕ i ( x ) ) ϕ i ′ ( x ) 展示一下抽象能力 F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt =f(\phi_2(x))\phi'_2(x)-f(\phi_1(x))\phi'_1(x) \\=\sum_{i=1}^{2}(-1)^{i}f(\phi_i(x))\phi_i'(x) \\展示一下抽象能力 F′(x)=dxd∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(t)dt=f(ϕ2(x))ϕ2′(x)−f(ϕ1(x))ϕ1′(x)=i=1∑2(−1)if(ϕi(x))ϕi′(x)展示一下抽象能力
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称 x x x求导变量
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称 t t t为积分变量
∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( t ) d t = ∫ ϕ 1 ( x ) ξ f ( t ) d t + ∫ ξ ϕ 2 ( x ) f ( t ) d t = − ∫ ξ ϕ 1 ( x ) f ( t ) d t + ∫ ξ ϕ 2 ( x ) f ( t ) d t ( ξ ∈ [ a , b ] ) 对两边求导 , 可得到上述公式 \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt =\int_{\phi_1(x)}^{\xi}f(t)dt+\int_{\xi}^{\phi_2(x)}f(t)dt \\=-\int^{\phi_1(x)}_{\xi}f(t)dt+\int_{\xi}^{\phi_2(x)}f(t)dt \\(\xi\in[a,b]) \\对两边求导,可得到上述公式 ∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(t)dt=∫ϕ1(x)ξf(t)dt+∫ξϕ2(x)f(t)dt=−∫ξϕ1(x)f(t)dt+∫ξϕ2(x)f(t)dt(ξ∈[a,b])对两边求导,可得到上述公式
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例
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设 f ( x ) f(x) f(x)具有连续导数,求 S = d d x ∫ a x ( x − t ) f ′ ( t ) d t S=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}(x-t)f'(t)dt S=dxd∫ax(x−t)f′(t)dt
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首先将求导变量x移出被积分函数 ( x − t ) f ′ ( t ) (x-t)f'(t) (x−t)f′(t)
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∫ a x ( x − t ) f ′ ( t ) d t = ∫ a x x f ′ ( t ) d t − ∫ a x t f ′ ( t ) d t = x ∫ a x f ′ ( t ) d t − ∫ a x t f ′ ( t ) d t \int_{a}^{x}(x-t)f'(t)dt =\int_{a}^{x}xf'(t)dt-\int_{a}^{x}tf'(t)dt \\ =x\int_{a}^{x}f'(t)dt-\int_{a}^{x}tf'(t)dt ∫ax(x−t)f′(t)dt=∫axxf′(t)dt−∫axtf′(t)dt=x∫axf′(t)dt−∫axtf′(t)dt
- 注意到,我们将 ∫ a x x f ′ ( t ) d t = x ∫ a x f ′ ( t ) d t \int_{a}^{x}xf'(t)dt=x\int_{a}^{x}f'(t)dt ∫axxf′(t)dt=x∫axf′(t)dt
- 因为求导变量对于积分变量t可以视为常数,因此利用定积分的性质,将其提取到积分号之外
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对两边求导得到 S = ∫ a x f ′ ( t ) d t + x f ′ ( x ) − x f ′ ( x ) = f ( x ) − f ( a ) S=\int_{a}^{x}f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=f(x)-f(a) S=∫axf′(t)dt+xf′(x)−xf′(x)=f(x)−f(a)
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