【高等代数】线性空间-知识点总结

1. 集合、映射

数域:设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域。

常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q。

集合:指作为整体看的一堆东西,例如一条直线是一个由点组成的集合,一个线性方程组解的全体组成一个集合,即解集合。

元素:组成集合的东西称为这个集合的元素。

集合的描述方法

  1. 描述法:M={x | x具有性质P}
    如 M = {(x, y) | x2+y2 = 4, x,y∈R}
  2. 列举法:M={a1,a2,…,an
    如 N={0,1,2,3,…}
  3. 空集合:不包含任何元素。例如一个无解的线性方程组的解集合。

集合间的关系

  1. B是A的子集,称B包含于A
  2. A和B相等,记作A=B

集合间的运算:交集、并集

映射:设M、M´是给定的两个非空集合,如果有一个对应法则σ,通过这个法则σ对于M中的每一个元素a,都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为M到M´的一个映射,记作 σ: M → M’
称 a´为 a 在映射σ下的,而 a称为 a´在映射σ下的**原象,**记作 σ(a)=a’ 或 σ: a↦a’

集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换

设映射 σ: M → M’ ,集合 σ(M) = {σ(a)|a∈M} 称之为M在映射σ下的象,通常记作Imσ。显然,Imσ ⊆ M’

单位映射:σ把每个元素映射到它自身,称为集合M的恒等映射或单位映射,记为IM

函数:函数可以认为是映射的一个特殊情形。

映射乘法:设映射σ: M → M’,τ: M’ → M’',乘积τσ定义为(τσ)(a)=τ(σ(a)),即相继施行σ和τ的结果,是 M 到 M" 的一个映射。

映射的乘法结合律:设映射σ: M → M’,τ: M’ → M’‘,φ: M’’ → M’‘’,有 (φτ)σ = φ(τσ)。

映射的性质:设映射 σ: M → M’,

  1. 若 Imσ = M’,即对于任意 y ∈ M’, 均存在 x ∈ M,使 y = σ(x),则称σ是M到M´的一个满射(或称 σ为映上的);

  2. 若M中不同元素的象也不同,即由 a1≠a2一定有 σ(a1) ≠ σ(a2),那么称σ是M到M´的一个单射(或称σ为1—1的);

  3. 若σ既是单射,又是满射,则称σ为双射(或称σ为 1—1对应)

    存在对于有限集来说,两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同;

    对于有限集A及其子集B,若B≠A(即B为A的真子集),则 A、B之间不可能存在1—1对应;但是对于无限集未必如此.

可逆映射:设映射 σ: M → M’,若有映射 τ: M’ → M,使得 τσ = IM,στ = IM,则称σ为可逆映射,τ为σ的逆映射,记作σ-1

  • 若σ为可逆映射,则σ-1也为可逆映射,且 (σ-1)-1=σ
  • 若σ(a) = a’,则 σ-1(a’) = a
  • σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应

2. 线性空间的定义与简单性质

引进线性空间的目的:研究线性方程组解有无解,有多少解的判定,以及有无穷多解时解集的结构

线性空间的定义:设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V中定义了一种代数运算,叫做加法:即对∀ɑ,β ∈ V,在V中都存在唯一的一个元素γ与它们对应,称γ为ɑ与β的,记 γ = ɑ + β;在P与V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法:即∀ɑ ∈ V,∀k ∈ P,在V中都存在唯一的一个元素δ它们对应,称δ为k与α的数量乘积,记为 δ=kα。

如果加法和数量乘法封闭且满足下述8条运算规则,则称V为数域P上的线性空间

加法规则:

  • α + β = β + α

  • (α + β) + γ = α +(β + γ)

  • 在V中有一个元素0,对∀ɑ ∈ V,有 α + 0 = α

    (具有这个性质的元素0称为V的零元素)

  • 对∀ɑ ∈ V,都有V中的一个元素β,使得 α + β = 0

    (β 称为 α 的负元素)

数量乘法规则 :

  • 1α = α
  • k(lα) = (kl)α

数量乘法与加法规则:

  • (k + l)α = kα + lα
  • k(α + β) = kα + kβ

注:

  1. 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算

  2. 线性空间的元素也称为向量,线性空间也称向量空间.但这里的向量不一定是有序数组.

  3. 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条,则此集合就不能构成线性空间.

    例如,对于线性空间R2,去掉其中的向量[0, 0]T,就不满足加法数乘封闭,因此就不是线性空间,所以线性空间必包含零向量

  4. 只含一个向量—零向量{0}的线性空间称为零空间.

  5. P[x]指数域P上的一元多项式环,表示定义在数域P上的多项式

    P[x]n表示定义在数域P上的次数不超过n的多项式加上零多项式构成的空间.

  6. Pm×n指数域P上全体m×n矩阵构成的线性空间,它是m×n维的。

线性空间的性质

  1. 零元素是唯一的;
  2. ∀ɑ ∈ V ,其负元素是唯一的,记为 -α
  3. 0ɑ = 0, k0 = 0,(-1)ɑ = -ɑ, k(α - β) = kα - kβ
  4. 如果 kα = 0,那么 k=0或α=0

3. 维数 、基与坐标

线性空间中向量之间的线性关系:在线性代数中我们知道,设V 是数域 P 上的一个线性空间,那么有:

  1. α12,···,α~r ~∈ V(r ≥1),k1,k2,···,kr ∈ P,则式 k1α1+k2α2+···+krαr称为向量组α12,···,αr的一个线性组合;

  2. α12,···,αr,β~ ~∈ V,若存在k1,k2,···,kr ∈ P,使 β = k1α1+k2α2+···+krαr,则称向量β可经向量组α12,···.,αr线性表出;

    若向量组β12,···,βs中每一向量皆可经向量组α12,···,αr线性表出,则称向量组β12,···,βs可经向量组α12,···,αr线性表出;

    若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组为等价的;

  3. α12,···,αr∈ V,若存在不全为零的数k1,k2,···,kr ∈ P,使 k1α1+k2α2+···+krαr = 0,则称向量组α12,···,αr线性相关的;

    若仅当k1=k2=···=k1=0 时 k1α1+k2α2+···+krαr = 0 才成立,则称向量组α12,···,αr线性无关的。

结论

  1. 向量组α12,···,αr线性相关 ⇔ α12,···,αr中有一个向量可经其余向量线性表出;

  2. 若向量组α12,···,αr线性无关,且可被向量组β12,···,βs线性表出,则 r ≤ s;

    若向量组α12,···,αr和向量组β12,···,βs等价,则 r = s;

  3. 若向量组α12,···,αr线性无关,但向量组α12,···,αr,β 线性相关,则β可被向量组α12,···,αr线性表出,且表示法唯一。

无限维线性空间:若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,则称 V 是无限维线性空间

有限维线性空间

  1. n 维线性空间:若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量,但是任意 n+1 个向量都是线性相关的,则称 V 是一个n 维线性空间;常记作 dimV= n(零空间的维数定义为0)
  2. :在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量ɛ12,···,ɛn,称为 V 的一组
  3. 坐标:设ɛ12,···,ɛn为线性空间 V 的一组基,α ∈ V,若 α = a1ɛ1+a2ɛ2+···+anɛn,a1,a2,···,an∈ P,则数组a1,a2,···,an就称为α在基ɛ12,···,ɛn下的坐标,记为(a1,a2,···,an),它是唯一的,在不同基下α的坐标一般是不同的。

线性空间的基与维数的确定:若线性空间V中的向量组α12,···,αn满足:

  1. 无关性:α12,···,α~n ~线性无关;
  2. 可表示性:∀β ∈ V,β可经α12,···,αn线性表出,则V为n 维线性空间,α12,···,αn为V的一组

标准基:一般地,向量空间 Pn = {(a1,a2,…,an)|ai ∈ P, i = 1,2,…,n} 为n维的,ɛ1=(1,0,…,0),ɛ2=(0,1,…,0),···,ɛn=(0,0,…,1)就是 Pn 的一组基.称为Pn标准基.

注:

  • n 维线性空间 V 的基不是唯一的,V中任意 n个线性无关的向量都是V的一组基.
  • 任意两组基向量是等价的

4. 基变换与坐标变换

向量的形式书写法

  1. V为数域P上的 n 维线性空间,α12,···,α~n ~为V 中的一组向量,β ∈ V,若 β = x1α1+x2α2+···+xnαn,则记作

【高等代数】线性空间-知识点总结_第1张图片

  1. V为数域P上的 n 维线性空间,α12,···,αn和 k1,k2,···,kn为V 中的两组向量,若

【高等代数】线性空间-知识点总结_第2张图片

则记作

【高等代数】线性空间-知识点总结_第3张图片

基变换:设V为数域P上n维线性空间,ɛ12,···,ɛn,ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n为V中的两组基,若

【高等代数】线性空间-知识点总结_第4张图片

则称公式右边的系数矩阵为由基 ɛ12,···,ɛn 到基 ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n过渡矩阵,称上式为由基 ɛ12,···,ɛn到基 ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n基变换公式。

性质

  1. 过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵;
  2. 若由基ɛ12,···,ɛn到基 ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n 的过渡矩阵为A,则由基ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n到基 ɛ12,···,ɛn的过渡矩阵为A-1
  3. 若由基α12,···,αn到基 β12,···,βn的过渡矩阵为A,由基β12,···,βn到基 γ12,···,γn的过渡矩阵为B,则由基α12,···,αn到基 γ12,···,γn的过渡矩阵为AB

坐标变换:V为数域P上的n维线性空间,ɛ12,···,ɛn与 ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n为V中的两组基,且

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设 ξ∈V且ξ在基 ɛ12,···,ɛn与 ɛ’1,ɛ’2,···,ɛ’n下的坐标分别为 (x1,x2,···,xn) 与 ( x’1,x’2,···,x’n),即

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【高等代数】线性空间-知识点总结_第7张图片

【高等代数】线性空间-知识点总结_第8张图片

称上述两式为向量ξ在基变换下的坐标变换公式

5. 线性子空间

线性子空间的定义:设V是数域P上的线性空间,集合 W ⊆ V(W≠∅),若W对于V中的两种运算(加法和数乘)也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间,简称为子空间。

注:

  • 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数

  • 只含零向量的子集合 W = {0} 是V的一个线性子空间,称之为V的零子空间

解空间:n元齐次线性方程组

【高等代数】线性空间-知识点总结_第9张图片

的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子空间,称W为上述方程组的解空间

注:

  • 解空间W的维数=n-秩(A)
  • 方程组的一个基础解系就是解空间W的一组基

生成子空间:V为数域P上的线性空间,α12,···,αn为V 中的一组向量,则子空间

在这里插入图片描述

称为V的由α12,···,α~n ~​生成的子空间,记作 L(α12,···,αn),称α12,···,αn为L(α12,···,αn)的一组生成元

定理

  • 设W为n维线性空间V的任一子空间,α12,···,αn是W的一组基,则有 W = L(α12,···,αn)

  • α12,···,αr与 β12,···,βs为线性空间V中的两组向量,则 L(α12,···,αr) = L(β12,···,βs) ⇔ α12,···,αr与 β12,···,βs等价

  • 生成子空间 L(α12,···,αr) 的维数=向量组α12,···,αr的秩

    推论:设α12,···,αs是线性空间V中不全为零的一组向量,αi1i2,···,αir(r≤s)是它的一个极大无关组,则 L(α12,···,αs) = L(αi1i2,···,αir)

  • 设 α12,···,αn为P上n维线性空间V的一组基,A为P上一个 n×s 矩阵,若 (β12,···,βs) = (α12,···,αn)A,则 L(β12,···,βs) 的维数 = 秩(A)

  • 扩基定理:W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间,α12,···,αm为W的一组基,则这组向量必定可扩充为 V 的一组基.即在 V 中必定可找到 n-m 个向量 αm+1m+2,···,αn,使α12,···,αm为V的一组基。

6. 子空间的交与和

子空间的交:设V1、V2为线性空间V的子空间,则集合 V1∩V2 = {a | a ∈ V1 且 a ∈ V2}也为V的子空间,称之为V1与V2的交空间

多个子空间的交记为

在这里插入图片描述

子空间的和:设V1、V2为线性空间V的子空间,则集合 V1+V2 = {a1+a2 | a1 ∈ V1 , a2 ∈ V2} 也为V的子空间,称之为V1与V2的和空间

多个子空间的和记为

【高等代数】线性空间-知识点总结_第10张图片

在这里插入图片描述

注:

  • 子空间的交与和满足交换律
  • 子空间的并集未必为V的子空间

子空间的交与和的有关性质

  1. 设V1, V2, W为线性空间V的子空间:

    若 W⊆V1, W⊆V2, 则 W⊆V1∩V2

    若 V1⊆W, V2⊆W, 则 V1+V2⊆W

  2. 设V1, V2为线性空间V的子空间,则以下三条件等价:

    V1⊆V2

    V1∩V2=V1

    V1+V2=V2

  3. α12,···,αr与 β12,···,βs为线性空间V中的两组向量,则 L(α12,···,αr) + L(β12,···,βs) = L(α12,···,αr, β12,···,βs)

  4. 维数公式:设V1, V2为线性空间V的两个子空间,则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2)。可以看出,子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小。

    推论:设V1, V2为线性空间V的两个子空间,若 dimV1 + dimV2> n,则V1、V2必含非零的公共向量. 即V1∩V2中必含有非零向量。

应用:在Pn中,用W1、W2分别表示两个齐次线性方程组的解空间,则W1∩W2就是这两个齐次线性方程组公共解的解空间。

7. 子空间的直和

直和的定义:设V1, V2为线性空间V的两个子空间,若和V1+V2中每个向量α的分解式 α = α1 + α2,α1∈V1, α2∈V2是唯一的,和 V1+V2就称为直和,记作V1⊕V2

直和的判定

  1. 和V1+V2是直和 ⇔ 零向量分解式唯一,即若 α1 + α2= 0,α1∈V1, α2∈V2,则必有 α1 = α2= 0

  2. 和V1+V2是直和 ⇔ V1∩ V2={0}

  3. 和V1+V2是直和 ⇔ dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2)

  4. 设U是线性空间V的一个子空间,则必存在一个子空间W,使 V = U ⊕ W,称这样的W为U的一个余子空间,余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间)

  5. 设 ɛ12,···,ɛn,ɳ12,···,ɳn分别是线性子空间V1、V2中的一组基,则

    和V1+V2是直和 ⇔ ɛ12,···,ɛn,ɳ12,···,ɳn线性无关

多个子空间的直和:设V1, V2,…,Vs都是线性空间V的子空间,若和V1+V2+…+Vs中每个向量α的分解式 α = α1 + α2 + … + αs,αi∈Vi, i=1,2,…,s是唯一的,则和就称为直和,记作V1⊕V2⊕…⊕Vs

多个子空间的直和的判定:和上述直和判定同理,注意:【高等代数】线性空间-知识点总结_第11张图片

注:每一个n 维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和;

8. 线性空间的同构

同构映射的定义:设V,V’都是数域P上的线性空间,如果映射 σ:V→V’具有以下性质:

  1. σ 为双射
  2. σ(α+β) = σ(α)+σ(β) ,∀α, β ∈ V
  3. σ(kα) = kσ(α) ,∀k ∈ P,∀α ∈ V

则称σ是V到V’的一个同构映射,并称线性空间V与V’同构,记作V≅V’

同构的有关结论

  1. 数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.

  2. 设V,V’都是数域P上的线性空间,σ是V到V’的一个同构映射,则有:

    1. σ(0)=0,σ(-α)=-σ(α)
    2. σ(k1α1+k2α2+···+krαr) = k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr),ki ∈ P,αi ∈ V,i=1,2,…,r
    3. V中向量组α12,···,αr线性相关(线性无关)的充要条件是它们的象 σ(α1), σ(α2),…, σ(αr) 线性相关(线性无关)
    4. dimV = dimV’
    5. σ:V→V’ 的逆映射 σ-1为 V’ 到 V 的同构映射
    6. 若W是V的子空间,则W在σ下的象集 σ(W) = {σ(α) | α∈W} 是的 V’ 子空间,且 dimW = dimσ(W)
    7. 由上述六点知道,同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性,并且同构映射把子空间映成子空间
  3. 两个同构映射的乘积还是同构映射

    注:同构关系具有反身性、对称性、传递性

  4. 数域P上的两个有限维线性空间 V、V’ 同构 ⇔ dimV1 = dimV2

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