【高等代数】线性空间-知识点总结

1. 集合、映射

数域：设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。

常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q。

集合：指作为整体看的一堆东西，例如一条直线是一个由点组成的集合，一个线性方程组解的全体组成一个集合，即解集合。

元素：组成集合的东西称为这个集合的元素。

集合的描述方法：

1. 描述法：M＝｛x | x具有性质P｝
   如 M = {(x, y) | x²+y² = 4, x,y∈R}
2. 列举法：M＝｛a₁，a₂，…，a_n｝
   如 N＝{0,1,2,3,…}
3. 空集合：不包含任何元素。例如一个无解的线性方程组的解集合。

集合间的关系：

1. B是A的子集，称B包含于A
2. A和B相等，记作A=B

集合间的运算：交集、并集

映射：设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为M到M´的一个映射，记作 σ: M → M’
称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a称为 a´在映射σ下的**原象，**记作 σ(a)=a’ 或 σ: a↦a’

集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换

设映射 σ: M → M’ ，集合 σ(M) = {σ(a)|a∈M} 称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ。显然，Imσ ⊆ M’

单位映射：σ把每个元素映射到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为I_M。

函数：函数可以认为是映射的一个特殊情形。

映射乘法：设映射σ: M → M’，τ: M’ → M’'，乘积τσ定义为(τσ)(a)=τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是 M 到 M" 的一个映射。

映射的乘法结合律：设映射σ: M → M’，τ: M’ → M’‘，φ: M’’ → M’‘’，有 (φτ)σ = φ(τσ)。

映射的性质：设映射 σ: M → M’，

1. 若 Imσ = M’，即对于任意 y ∈ M’， 均存在 x ∈ M，使 y = σ(x)，则称σ是M到M´的一个满射（或称 σ为映上的）；

2. 若M中不同元素的象也不同，即由 a₁≠a₂一定有 σ(a₁) ≠ σ(a₂)，那么称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；

3. 若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射（或称σ为 1—1对应）

   存在对于有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同；

   对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.

可逆映射：设映射 σ: M → M’，若有映射 τ: M’ → M，使得 τσ = I_M，στ = I_M，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ^-1。

• 若σ为可逆映射，则σ^－1也为可逆映射，且 (σ^－1)^－1＝σ
• 若σ(a) = a’，则 σ^-1(a’) = a
• σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应

2. 线性空间的定义与简单性质

引进线性空间的目的：研究线性方程组解有无解，有多少解的判定，以及有无穷多解时解集的结构

线性空间的定义：设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对∀ɑ，β ∈ V，在V中都存在唯一的一个元素γ与它们对应，称γ为ɑ与β的和，记 γ = ɑ + β；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即∀ɑ ∈ V，∀k ∈ P，在V中都存在唯一的一个元素δ它们对应，称δ为k与α的数量乘积，记为 δ=kα。

如果加法和数量乘法封闭且满足下述8条运算规则，则称V为数域P上的线性空间：

加法规则：

• α + β = β + α

• (α + β) + γ = α +（β + γ）

• 在V中有一个元素0，对∀ɑ ∈ V，有 α + 0 = α

  （具有这个性质的元素0称为V的零元素）

• 对∀ɑ ∈ V，都有V中的一个元素β，使得 α + β = 0

  （β 称为 α 的负元素）

数量乘法规则 :

• 1α = α
• k(lα) = (kl)α

数量乘法与加法规则：

• (k + l)α = kα + lα
• k(α + β) = kα + kβ

注：

1. 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算

2. 线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．

3. 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间．

   例如，对于线性空间R²，去掉其中的向量[0, 0]^T，就不满足加法数乘封闭，因此就不是线性空间，所以线性空间必包含零向量；

4. 只含一个向量—零向量{0}的线性空间称为零空间.

5. P[x]指数域P上的一元多项式环，表示定义在数域P上的多项式

   P[x]_n表示定义在数域P上的次数不超过n的多项式加上零多项式构成的空间.

6. P^m×n指数域P上全体m×n矩阵构成的线性空间，它是m×n维的。

线性空间的性质：

1. 零元素是唯一的；
2. ∀ɑ ∈ V ，其负元素是唯一的，记为 -α
3. 0ɑ = 0， k0 = 0，(-1)ɑ = -ɑ， k(α - β) = kα - kβ
4. 如果 kα = 0，那么 k=0或α=0

3. 维数 、基与坐标

线性空间中向量之间的线性关系：在线性代数中我们知道，设V 是数域 P 上的一个线性空间，那么有：

1. α₁,α₂,···,α~r ~∈ V(r ≥1)，k₁,k₂,···,k_r ∈ P，则式 k₁α₁+k₂α₂+···+k_rα_r称为向量组α₁,α₂,···,α_r的一个线性组合；

2. α₁,α₂,···,α_r,β~ ~∈ V，若存在k₁,k₂,···,k_r ∈ P，使 β = k₁α₁+k₂α₂+···+k_rα_r，则称向量β可经向量组α₁,α₂,···.,α_r​线性表出；

   若向量组β₁,β₂,···,β_s中每一向量皆可经向量组α₁,α₂,···,α_r线性表出，则称向量组β₁,β₂,···,β_s可经向量组α₁,α₂,···,α_r​线性表出；

   若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的；

3. α₁,α₂,···,α_r∈ V，若存在不全为零的数k₁,k₂,···,k_r ∈ P，使 k₁α₁+k₂α₂+···+k_rα_r = 0，则称向量组α₁,α₂,···,α_r为线性相关的；

   若仅当k₁=k₂=···=k₁=0 时 k₁α₁+k₂α₂+···+k_rα_r = 0 才成立，则称向量组α₁,α₂,···,α_r为线性无关的。

结论：

1. 向量组α₁,α₂,···,α_r线性相关 ⇔ α₁,α₂,···,α_r中有一个向量可经其余向量线性表出；

2. 若向量组α₁,α₂,···,α_r线性无关，且可被向量组β₁,β₂,···,β_s线性表出，则 r ≤ s；

   若向量组α₁,α₂,···,α_r和向量组β₁,β₂,···,β_s等价，则 r = s；

3. 若向量组α₁,α₂,···,α_r线性无关，但向量组α₁,α₂,···,α_r,β 线性相关，则β可被向量组α₁,α₂,···,α_r线性表出，且表示法唯一。

无限维线性空间：若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维线性空间。

有限维线性空间：

1. n 维线性空间：若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个n 维线性空间；常记作 dimV＝ n（零空间的维数定义为0）
2. 基：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n，称为 V 的一组基；
3. 坐标：设ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n为线性空间 V 的一组基，α ∈ V，若 α = a₁ɛ₁+a₂ɛ₂+···+a_nɛ_n，a₁,a₂,···,a_n∈ P，则数组a₁,a₂,···,a_n就称为α在基ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n下的坐标，记为(a₁,a₂,···,a_n)，它是唯一的，在不同基下α的坐标一般是不同的。

线性空间的基与维数的确定：若线性空间V中的向量组α₁,α₂,···,α_n满足:

1. 无关性：α₁,α₂,···,α~n ~线性无关；
2. 可表示性：∀β ∈ V，β可经α₁,α₂,···,α_n线性表出，则V为n 维线性空间，α₁,α₂,···,α_n为V的一组基

标准基：一般地，向量空间 Pⁿ = {(a₁,a₂,…,a_n)|a_i ∈ P, i = 1,2,…,n} 为n维的，ɛ₁=(1,0,…,0),ɛ₂=(0,1,…,0),···,ɛ_n=(0,0,…,1)就是 Pⁿ 的一组基．称为Pⁿ 的标准基.

注：

• n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个线性无关的向量都是V的一组基．
• 任意两组基向量是等价的

4. 基变换与坐标变换

向量的形式书写法：

1. V为数域P上的 n 维线性空间，α₁,α₂,···,α~n ~为V 中的一组向量，β ∈ V，若 β = x₁α₁+x₂α₂+···+x_nα_n，则记作

2. V为数域P上的 n 维线性空间，α₁,α₂,···,α_n和 k₁,k₂,···,k_n为V 中的两组向量，若

则记作

基变换：设V为数域P上n维线性空间，ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n，ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n为V中的两组基，若

则称公式右边的系数矩阵为由基 ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n 到基 ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n的过渡矩阵，称上式为由基 ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n到基 ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n的基变换公式。

性质：

1. 过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵；
2. 若由基ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n到基 ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n 的过渡矩阵为A，则由基ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n到基 ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n的过渡矩阵为A^-1
3. 若由基α₁,α₂,···,α_n到基 β₁,β₂,···,β_n的过渡矩阵为A，由基β₁,β₂,···,β_n到基 γ₁,γ₂,···,γ_n的过渡矩阵为B，则由基α₁,α₂,···,α_n到基 γ₁,γ₂,···,γ_n的过渡矩阵为AB

坐标变换：V为数域P上的n维线性空间，ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n与 ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n为V中的两组基，且

设 ξ∈V且ξ在基 ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n与 ɛ’₁,ɛ’₂,···,ɛ’_n下的坐标分别为 (x₁,x₂,···,x_n) 与 ( x’₁,x’₂,···,x’_n)，即

称上述两式为向量ξ在基变换下的坐标变换公式

5. 线性子空间

线性子空间的定义：设V是数域P上的线性空间，集合 W ⊆ V(W≠∅)，若W对于V中的两种运算（加法和数乘）也构成数域P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间。

注：

• 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数

• 只含零向量的子集合 W = {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间

解空间：n元齐次线性方程组

的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pⁿ 的一个子空间，称W为上述方程组的解空间．

注：

• 解空间W的维数＝n－秩(A)
• 方程组的一个基础解系就是解空间W的一组基

生成子空间：V为数域P上的线性空间，α₁,α₂,···,α_n为V 中的一组向量，则子空间

称为V的由α₁,α₂,···,α~n ~​生成的子空间，记作 L(α₁,α₂,···,α_n)，称α₁,α₂,···,α_n为L(α₁,α₂,···,α_n)的一组生成元。

定理：

• 设W为n维线性空间V的任一子空间，α₁,α₂,···,α_n是W的一组基，则有 W = L(α₁,α₂,···,α_n)

• α₁,α₂,···,α_r与 β₁,β₂,···,β_s为线性空间V中的两组向量，则 L(α₁,α₂,···,α_r) = L(β₁,β₂,···,β_s) ⇔ α₁,α₂,···,α_r与 β₁,β₂,···,β_s等价

• 生成子空间 L(α₁,α₂,···,α_r) 的维数＝向量组α₁,α₂,···,α_r的秩

  推论：设α₁,α₂,···,α_s是线性空间V中不全为零的一组向量，α_i1,α_i2,···,α_ir(r≤s)是它的一个极大无关组，则 L(α₁,α₂,···,α_s) = L(α_i1,α_i2,···,α_ir)

• 设 α₁,α₂,···,α_n为P上n维线性空间V的一组基，A为P上一个 n×s 矩阵，若 (β₁,β₂,···,β_s) = (α₁,α₂,···,α_n)A，则 L(β₁,β₂,···,β_s) 的维数 = 秩(A)

• 扩基定理：W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，α₁,α₂,···,α_m为W的一组基，则这组向量必定可扩充为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量 α_m+1,α_m+2,···,α_n，使α₁,α₂,···,α_m为V的一组基。

6. 子空间的交与和

子空间的交：设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 V₁∩V₂ = {a | a ∈ V₁ 且 a ∈ V₂}也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间。

多个子空间的交记为

子空间的和：设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 V₁+V₂ = {a₁+a₂ | a₁ ∈ V₁ , a₂ ∈ V₂} 也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间。

多个子空间的和记为

注：

• 子空间的交与和满足交换律
• 子空间的并集未必为V的子空间

子空间的交与和的有关性质：

1. 设V₁, V₂, W为线性空间V的子空间：

   若 W⊆V₁, W⊆V₂, 则 W⊆V₁∩V₂

   若 V₁⊆W, V₂⊆W, 则 V₁+V₂⊆W

2. 设V₁, V₂为线性空间V的子空间，则以下三条件等价:

   V₁⊆V₂

   V₁∩V₂=V₁

   V₁+V₂=V₂

3. α₁,α₂,···,α_r与 β₁,β₂,···,β_s为线性空间V中的两组向量，则 L(α₁,α₂,···,α_r) + L(β₁,β₂,···,β_s) = L(α₁,α₂,···,α_r, β₁,β₂,···,β_s)

4. 维数公式:设V₁, V₂为线性空间V的两个子空间，则 dimV₁ + dimV₂ = dim(V₁+V₂) + dim(V₁∩V₂)。可以看出，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小。

   推论：设V₁, V₂为线性空间V的两个子空间，若 dimV₁ + dimV₂> n，则V₁、V₂必含非零的公共向量. 即V₁∩V₂中必含有非零向量。

应用：在Pⁿ中，用W₁、W₂分别表示两个齐次线性方程组的解空间，则W₁∩W₂就是这两个齐次线性方程组公共解的解空间。

7. 子空间的直和

直和的定义：设V₁, V₂为线性空间V的两个子空间，若和V₁+V₂中每个向量α的分解式 α = α₁ + α₂，α₁∈V₁, α₂∈V₂是唯一的，和 V₁+V₂就称为直和，记作V₁⊕V₂

直和的判定：

1. 和V₁+V₂是直和 ⇔ 零向量分解式唯一，即若 α₁ + α₂= 0，α₁∈V₁, α₂∈V₂，则必有 α₁ = α₂= 0

2. 和V₁+V₂是直和 ⇔ V₁∩ V₂={0}

3. 和V₁+V₂是直和 ⇔ dimV₁ + dimV₂ = dim(V₁+V₂)

4. 设U是线性空间V的一个子空间，则必存在一个子空间W，使 V = U ⊕ W，称这样的W为U的一个余子空间，余子空间 一般不是唯一的（除非U是平凡子空间）

5. 设 ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n，ɳ₁,ɳ₂,···,ɳ_n分别是线性子空间V₁、V₂中的一组基，则

   和V₁+V₂是直和 ⇔ ɛ₁,ɛ₂,···,ɛ_n，ɳ₁,ɳ₂,···,ɳ_n线性无关

多个子空间的直和：设V₁, V₂,…,V_s都是线性空间V的子空间，若和V₁+V₂+…+V_s中每个向量α的分解式 α = α₁ + α₂ + … + α_s，α_i∈V_i, i=1,2,…,s是唯一的，则和就称为直和，记作V₁⊕V₂⊕…⊕V_s

多个子空间的直和的判定：和上述直和判定同理，注意：

注：每一个n 维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和；

8. 线性空间的同构

同构映射的定义：设V，V’都是数域P上的线性空间，如果映射 σ：V→V’具有以下性质：

1. σ 为双射
2. σ(α+β) = σ(α)+σ(β) ，∀α, β ∈ V
3. σ(kα) = kσ(α) ，∀k ∈ P，∀α ∈ V

则称σ是V到V’的一个同构映射，并称线性空间V与V’同构，记作V≅V’

同构的有关结论：

1. 数域P上任一n维线性空间都与Pⁿ同构.

2. 设V，V’都是数域P上的线性空间，σ是V到V’的一个同构映射，则有：

   1. σ(0)=0，σ(-α)=-σ(α)
   2. σ(k₁α₁+k₂α₂+···+k_rα_r) = k₁σ(α₁)+k₂σ(α₂)+…+k_rσ(α_r)，k_i ∈ P，α_i ∈ V，i=1,2,…,r
   3. V中向量组α₁,α₂,···,α_r线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象 σ(α₁), σ(α₂),…, σ(α_r) 线性相关（线性无关）
   4. dimV = dimV’
   5. σ：V→V’ 的逆映射 σ^-1为 V’ 到 V 的同构映射
   6. 若W是V的子空间，则W在σ下的象集 σ(W) = {σ(α) | α∈W} 是的 V’ 子空间，且 dimW = dimσ(W)
   7. 由上述六点知道，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间

3. 两个同构映射的乘积还是同构映射

   注：同构关系具有反身性、对称性、传递性

4. 数域P上的两个有限维线性空间 V、V’ 同构 ⇔ dimV₁ = dimV₂