课程向：深度学习与人类语言处理 ——李宏毅，2020 (P6)
传统的语音辨识系统： Hidden Markov Model (HMM) 隐马尔科夫模型
李宏毅老师2020新课深度学习与人类语言处理课程主页：
http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_DLHLP20.html
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前言
上两篇我们讲的都是神经网络在语音辨识中的使用（LAS、CTC、RNA、RNN-T、Neural Transducer、MoCha），而即使是如今大多数的语音辨识系统还是使用传统的 Hidden Markov Model 隐马尔科夫模型。让我们看看至少10年前还没有deep learning的时候，人们是怎样解决语音辨识的。
I P(Y|X)
参考上图，我们可以看到语音辨识是输入vector X ，产生 token Y。过去把这个问题当成统计问题，给一段X产生Y的几率，只需穷举所有可能Y，得到 P(Y|X) 的概率最大就是我们语音辨识的结果Y。那我们可能穷举所有可能的Y吗，Y是所有可能的token sequence，这样的sequence太多了。
我们把看到X，找哪一个Y的几率最大的这件事叫做Decode解码。
但根据贝叶斯定理，我们可以把P（Y|X）
- P（Y|X） = P(X|Y) P(Y) / P(X)
而其中P（X）是无关的故可省略。故我们只需要找一个Y使得argmax P(X|Y) P(Y) 最大
其中 P(X|Y) 叫做 Acousitc Model 声学特征模型
P(Y) 叫做 Language Model 语言模型
而Acoustic Model过去常用的就是HMM ，Language Model之后会讲到。
II Hidden Markov Model (HMM) 隐马尔科夫模型
1 S (state)
为找到上面最大化p（X|Y），HMM将Y细化为了S state
之前我们讲过很多各式各样的token(参见P3，Grapheme 字母汉字，Phoneme 音素，Morpheme 词根、缀，Word 词)，但这些单位对HMM来说都太大了，HMM的输入并不是token sequence，而是把token sequence 转成 state sequence
也就把 P（X|Y） 转成了 P（X|S），S是state sequence。
而state sequence是什么呢？S是人为定义的，比Phoneme（发音的基本单位）还要小。
举例，请参见上图，假如我们有一段”what do you think“的语音段，我们会先根据Lexicon查表找出这段英文的Phoneme，接下来每一个Phoneme都会受到前后的内容影响，比如说这句中的do有wu的音，you也有wu的音，但同样的wu两者发音是不一样的，他们会受到前后Phoneme的影响，所以我们会用Tri-phone来细化，注意Tri-phone不是指三个phoneme连在一起，而是将现在的phoneme加上前后的phoneme，是把原来的一个phoneme切的更细。接下来，还有更小的单位，就是HMM所用到的S（state），我们通常假设每一个Tri-phoneme是由三个或五个state所构成(自己决定一个Tri-phoneme由多少个state组成，通常是三个或五个)。
2 S->X
在我们有了S后，我们该怎样构造数据，由S产生acoustic feature的X呢？
举例，假设我们有一段声音讯号X（长度为6），S 有 a b c
我们会先进入第一个state a里面，由a产生一些vector如X1、X2，接下来b产生一些vector，最后c。这便是由S产生X的过程，但要算**P（X|S）**的概率的话，我们还需要知道两种概率
- Transition Probability ：从某一个state跳到另一个state的几率，如上图由黄色球跳到蓝色球的几率
- Emission Probability：给一个state，它产生某一个acoustic feature的几率有多大，如上图由黄色球生成紫色或红色vector的几率
3 Transition Probability & Emission Probability
这两个概率的计算方法请详见《数位语音处理》
Transition Probability，由前一个state跳到下一个state的概率。
Emission Probability，给定一个state，这个state产生某一个acoustic feature的概率。我们之所以可以有Emission Probability，是因为我们假设每一个state产生的声音讯号有一个固定的distribution概率分布，我们会用 GMM （Gaussian Mixture Model） 来表示这个概率分布。
提问：我们为什么还用比Phoneme（人类听识最小单位）还要小的单位state来当作HMM的输入，而不直接用Phoneme呢？
因为我们要假设如果人想要发这个state声音的时候，将这些声音讯号转成vector时，这些vector有一个固定的几率分布，我们会用GMM来表示这个几率分布。这也就是为什么之前，人们不使用类似Word词等当作token，因为同一个word，因上下文（如连读）人们发出这个词的声音讯号是很可能不一样的，不是固定的，也因此无法供HMM使用。
Emission Probability会遇到一个问题，那就是我们的state实在是太多了，Phoneme要转成Tri-phone，再由Tri-phone转成state
而在这些state中，我们的训练资料里可能一些state只出现一两次，这样非常 GMM的概率分布 ，所以过去有一个非常关键的技术，叫做Tied-state，它假设一些state的发音是一样的，让它们共用同样的Gaussian distribution。虽然两个state名字不一样，但它们可以共用同一个GMM。
像这样的技术，经过很多年研究，最终得到了Subspace GMM，之前人们会定义很多规则或通过统计来决定哪些state应该共用，而Subspace GMM 不再讨论哪些state共用，而是将全部的state都共用一个GMM，虽都共用同一个GMM，但不同的state的distribution可以不同，因为加入了一个Gaussian pool 来改变不同state的Gaussian。（2010）10年前这项技术是十分轰动的，而有趣的是，同一年同一个会议ICASSP Hinton发表的将deep learning用在语音辨识上的paper却没受到什么重视，当然也是因为他没有冲 state-of-the-art。
4 Probability P（X|S）
假设我们已经得到了 Transition Probability 和 Emission Probability ，那我们现在可以计算出 P（X|S）的概率了么？还是不能。我们还少了alignment，我们还必须知道每一个acoustic feature 是由哪一个state产生的。通常 输入的state sequence比较短，而输出的acoustic feature sequence 比较长，那我们该怎样对应在一起，这个东西就是alignment。
具体而言，参见上图，假设我们有三个state a b c，那我们该重复几次abc来产生x1 x2 x3 x4 x5 x6。我们可以设定为aabbcc -> x1 x2 x3 x4 x5 x6，当然也可以为 abbbbc -> x1 x2 x3 x4 x5 x6。其中如P(a|a)是由Transition Probability得到，P(x1|a)是由Emission Probability得到。把这些几率全部乘起来，我们就知道P（X|S）。当然alignment不同，算出的几率也不同，也因此我们穷举所有正确的alignment，算出的概率求和，就像上图的h∈align(S)。
III Deep Learning in HMM
将深度学习应用到语音辨识上，最早的想法都是在HMM基础上改进
1 Tandem
用Deep Learning来给我们比较好的acoustic feature，训练一个DNN，输入MFCC，去预测给定MFCC给出state的概率p(a|xi)，接下把DNN的输出当成新的acoustic feature，然后同样输给HMM。
2 DNN-HMM Hybrid
在HMM里面有Gaussian Mixture Model，我们用DNN来取代GMM。原来GMM计算的是给一个state输出acoustic feature vector(x)的概率，而DNN可以训练一个分类器，给一个x输出它是某一个state的几率。看起来这两件事情是相反的，但根据贝叶斯公式，详见上图，我们便可以通过DNN得到GMM的计算结果。
上述都是历史的回顾，下一篇将回到现在的End-to-End技术。