简单易懂的利用F.conv2d函数进行卷积的前向传播和反向传播

其实你去看pytorch中的nn.Conv2d的源码的时候，你会发现它还是调用的nn.functional.conv2d，如下图所示：

显然这在前向传播中我们已经用的非常多了，有时候在跟踪里面会计算template和search的互相关，也是利用F.conv2d函数实现的，本篇文章用生动易懂的方式讲解一下F.conv2d前向传播和反向传播的过程。

前向传播(forward propagation)

官方的参数列表是这样的：

torch.nn.functional.conv2d(input, weight, bias=None, stride=1, padding=0, dilation=1, groups=1)

• input – input tensor of shape (minibatch,in_channels,iH,iW)
• weight – filters of shape(out_channels, $\frac{in\_channels}{groups}$,kH,kW)
• output – output tensor of shape (minibatch,out_channels,oH,oW)

看一下一个例子，假设

这里按照卷积的公式和上面的文档就可以容易得出。也可以看下面的图：
其实上面还涉及了分组卷积，把1024的通道数改成了2个512，此时也就有2个512通道的卷积核$f_1$, $f_2$，分别与$g_1$, $b_1$, $y_1$和$g_2$, $b_2$, $y_2$卷积得到$g_{11}$, $b_{11}$, $y_{11}$和$g_{22}$, $b_{22}$, $y_{22}$，这样输出就是3个2通道的19×19的tensor了。

反向传播(backward propagation)

前面的前向传播较好理解，不过也是理解下面用F.conv2d实现反向传播的基础，让我们先看一下简单的反向传播例子：

假设有一张1×1的feature map，然后周围padding=2，用4×4的卷积核去卷积，得到一张2×2的输出map

左图中四种不同的颜色的4×4的框表示卷积核滑动窗口在不同的位置，右边是其对应的输出位置，由相同颜色对应。

假设现在得到了一张2×2的上游传过来的梯度map，这时要计算相对于卷积核的梯度，这时我们知道，卷积核和特征feature map之间就是＋和×的操作，所以对于卷积核的梯度可以由下图四张4×4的特征值和对应上游梯度位置相乘后相加得到（即图中的土色tensor）

那有没有更高效的方法实现上面的四张4×4的特征值和对应上游梯度位置相乘后相加这个操作呢？不难发现，这种相乘相加的操作不就是卷积嘛？再仔细看一眼，发现F.conv2d(feature_map, upstream_gradient)就是最后的图中土色的tensor

那对于一般的情况该怎么操作呢？还是拿上面前向传播的例子举例：
此时我们就需要$g_{11}$的上游梯度$G_{11}$和$g_1$做卷积得到$f_{g1}$，$g_{22}$的上游梯度$G_{22}$和$g_2$做卷积得到$f_{g2}$，以此类推。最后
$$f_{g1}+f_{b1}+f_{y1}=\partial f_1$$ $$f_{g2}+f_{b2}+f_{y2}=\partial f_2$$
如下图所示的：

只不过需要在输入的时候转化一下维度，具体过程可见下面：

更一般的总结就是

F.conv2d(input, weight, padding=p, groups=g)

1. forward: when given
   input tensor shape: [B, Cin, iH, iW]
   weight tensor shape: [g, $\frac{Cin}{g}$, kH, kW]
   we can get output tensor shape: [B, g, oH, oW]
2. backward: when given
   input tensor shape: [B, Cin, iH, iW]
   upstream gradient shape: [B, g, oH, oW]
   we can get gradient relative to weight by following:
   2.1 F.conv2d([$\frac{Cin}{g}$, Bg, iH, iW], [Bg,1,oH,oW], groups=Bg, padding=p) ,and get [$\frac{Cin}{g}$,Bg,kH,kW]
   2.2 [$\frac{Cin}{g}$,Bg,kH,kW] view as [$\frac{Cin}{g}$,B, g,kH,kW] and sum along with dim=1, get [$\frac{Cin}{g}$,g,kH,kW]
   2.3 [$\frac{Cin}{g}$,g,kH,kW] re-view as [g,$\frac{Cin}{g}$,kH,kW] same shape with weight