NEUQ-acm 预备队训练Week8——动态规划2

本周练习动态规划中完全背包，多重背包，及分组背包

P1616 疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

$1$. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行两个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $a_i,b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

140

提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $m\le 10^3$ 。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le m\le 10^4$，$1\le t\le 10^7$，且 $1\le m\times t\le 10^7$，$1\le a_i,b_i\le 10^4$。

思路

与01背包不同，完全背包中可以选无数个相同的草药，可以不考虑前$i$个是怎么选的，只要第$i$个能采就可以，即$res[i][j]=max(res[i-1][j],res[i][j-t[i]]+v[i])$
但此题明显二维数组会超空间，考虑滚动数组优化res
$res[j]=max(res[j],res[j-t[i]]+v[i])$

代码

/*
#include 
using namespace std;
const int Max = 1e7+5;
int t,m;
long long res[2][Max];
long long ti[10005], v[10005];
int main(){
    cin >> t >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)  cin >> ti[i] >> v[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int now = i&1;
        int pre = (i-1)&1;
        memset(res[now], 0, sizeof(res[now]));
        for(int j = 0; j <= t; j++){
            if(ti[i]>j)
                res[now][j]=res[pre][j];
            else
                res[now][j]=max(res[pre][j], res[now][j-ti[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << res[m&1][t];
}
*/
#include 
using namespace std;
const int Max = 1e7+5;
int t,m;
long long res[Max];
long long ti[10005], v[10005];
int main(){
    cin >> t >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)  cin >> ti[i] >> v[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = ti[i]; j <= t; j++){
            res[j]=max(res[j], res[j-ti[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << res[t];
}

注意：数据超int，使用long long

P1833 樱花

题目背景

《爱与愁的故事第四弹·plant》第一章。

题目描述

爱与愁大神后院里种了 $n$ 棵樱花树，每棵都有美学值 $C_i(0\le C_i\le 200)$。爱与愁大神在每天上学前都会来赏花。爱与愁大神可是生物学霸，他懂得如何欣赏樱花：一种樱花树看一遍过，一种樱花树最多看 $A_i(0\le A_i\le 100)$ 遍，一种樱花树可以看无数遍。但是看每棵樱花树都有一定的时间 $T_i(0\le T_i\le 100)$。爱与愁大神离去上学的时间只剩下一小会儿了。求解看哪几棵樱花树能使美学值最高且爱与愁大神能准时（或提早）去上学。

输入格式

共 $n+1$行：

第 $1$ 行：现在时间 $T_s$（几时：几分），去上学的时间 $T_e$（几时：几分），爱与愁大神院子里有几棵樱花树 $n$。这里的 $T_s$，$T_e$ 格式为：hh:mm，其中 $0\le hh\le 23$，$0\le mm\le 59$，且 $hh,mm,n$ 均为正整数。

第 $2$ 行到第 $n+1$ 行，每行三个正整数：看完第 $i$ 棵树的耗费时间 $T_i$，第 $i$ 棵树的美学值 $C_i$，看第 $i$ 棵树的次数 $P_i$（$P_i=0$ 表示无数次，$P_i$ 是其他数字表示最多可看的次数 $P_i$）。

输出格式

只有一个整数，表示最大美学值。

样例输入 #1

6:50 7:00 3
2 1 0
3 3 1
4 5 4

样例输出 #1

11

提示

$100\%$ 数据：$T_e-T_s\le 1000$（即开始时间距离结束时间不超过 $1000$ 分钟），$n\le 10000$。保证 $T_e,T_s$ 为同一天内的时间。

样例解释：赏第一棵樱花树一次，赏第三棵樱花树 $2$ 次。

思路

多重背包转化为01背包，再利用01背包解决
转化：二进制转化
数量拆分为2⁰, 2¹, 2², … 2^p 和剩余的数量
无穷数量用999999表示

代码

#include 
using namespace std;
int n;
int yt[10005],yv[10005],ynum[10005];
int xt[1000005],xv[1000005];
int xn;
int res[1005];
void zhuan(){
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int tmp = 1;
        while(ynum[i]!=0){
            xt[++xn]=tmp*yt[i];
            xv[xn] = tmp*yv[i];
            ynum[i]-=tmp;
            tmp*=2;
            if(ynum[i]<tmp){
                xt[++xn] = yt[i]*ynum[i];
                xv[xn] = yv[i]*ynum[i];
                ynum[i]=0;
            } 
        }
    }
}
int main(){
    int hs1,hm1,hs2,hm2;
    scanf("%d:%d",&hs1,&hm1);
    scanf("%d:%d",&hs2,&hm2);
    int t = (hm1<hm2)? (hs2-hs1)*60+hm2-hm1 : (hs2-hs1-1)*60+60+hm2-hm1;
    //cout << t;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> yt[i] >> yv[i] >> ynum[i];
        if(ynum[i]==0) ynum[i]=999999;
    }
    zhuan();
    for(int i = 1;  i<= xn; i++){
        for(int j = t; j >= xt[i]; j--){
            res[j]=max(res[j], res[j-xt[i]]+xv[i]);
        }
    }
    cout << res[t];
}

P1077 [NOIP2012 普及组] 摆花

题目描述

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 $m$ 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 $n$ 种花，从 $1$ 到 $n$ 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 $i$ 种花不能超过 $a_i$ 盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开。

第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$。

输出格式

一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 $10^6+7$ 取模的结果。

样例输入 #1

2 4
3 2

样例输出 #1

2

提示

【数据范围】

对于 $20\%$ 数据，有 $0<n\le 8,0<m\le 8,0\le a_i\le 8$。

对于 $50\%$ 数据，有 $0<n\le 20,0<m\le 20,0\le a_i\le 20$。

对于 $100\%$ 数据，有 $0<n\le 100,0<m\le 100,0\le a_i\le 100$。

NOIP 2012 普及组 第三题

思路

考虑递推关系
$res[i][j]=res[i-1][j]+res[i-1][j-1]+...+res[i-1][j-a[i]]$
注意$j-a[i]$不能小于0
另外初始状态很关键：$res[0][0]=1$

代码

#include 
using namespace std;
int n,m;
int res[105][105];
int a[105];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  cin >> a[i];
    res[0][0]=1;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            for(int k = 0; k <= a[i] && j>=k; k++){
                res[i][j]+=res[i-1][j-k];
                res[i][j]=res[i][j]%1000007;
            }
        }
    }
    //res[n][m]%=1000007;
    cout << res[n][m];
}

注意：取模运算不能只放到最后，否则中间过程可能超int

P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1\sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}+\cdots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行三个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

样例输出 #1

2200

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 3.2\times 10^4$，$1\le m\le 60$，$0\le v_i\le 10^4$，$1\le p_i\le 5$，$0\le q_i\le m$，答案不超过 $2\times 10^5$。

思路

对于每个主件有4种情况，主件、主件+1个附件、主件+另一个附件、主件+2个附件
那么就是一个分组背包：每个主件看成一个阶段，如果选，必须至多选一个，否则不选。
再加上滚动数组记录每个阶段的价值
注意点：转化成背包的过程要细心一点~

代码

#include 
using namespace std;
const int Max = 3.2*1e4+5;
int n,m;
int res[Max];
int v[65],w[65],p[65];
int xv[200][4],xw[200][4];
int flag[65];
void zhuan(){
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        if(p[i]==0){
            xv[i][0]=v[i];
            xw[i][0]=v[i]*w[i];
        }
        else{
            if(flag[p[i]]==0){
                xv[p[i]][1]=v[i]+v[p[i]];
                xw[p[i]][1]=v[i]*w[i]+v[p[i]]*w[p[i]];
                flag[p[i]]++;
            }
            else{
                xv[p[i]][2]=v[i]+v[p[i]];
                xw[p[i]][2]=v[i]*w[i]+v[p[i]]*w[p[i]];
                int f=-1;
                for(int j = i-1; j >0; j--){
                    if(p[j]==p[i]){
                        f=j;
                        break;
                    }
                }
                xv[p[i]][3]=v[i]+v[p[i]]+v[f];
                xw[p[i]][3]=v[i]*w[i]+v[p[i]]*w[p[i]]+v[f]*w[f];
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)  cin >> v[i] >> w[i] >> p[i];
    zhuan();
    //cout << num << endl;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        //cout << xv[i] << " " << xw[i] << endl;
        if(xv[i][0]==0) continue;
        for(int j = n; j >= 0; j--){
            for(int k = 0; k < 4 && j>= xv[i][k]; k++)
                res[j]=max(res[j],res[j-xv[i][k]]+xw[i][k]);
        }
    }
    cout << res[n];
}