Python线性规划实例，用PuLP 库求解线性规划的建模与编程
什么是线性规划
线性规划（Linear programming），在线性等式或不等式约束条件下求解线性目标函数的极值问题，常用于解决资源分配、生产调度和混合问题。
线性规划问题的建模和求解，通常按照以下步骤进行：
- 问题定义，确定决策变量、目标函数和约束条件；
- 模型构建，由问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
- 模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果；
PuLP 库求解线性规划
PuLP是一个开源的第三方工具包，可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划问题。下面以该题为例讲解 PuLP 求解线性规划问题的步骤：
- 导入 PuLP库函数
- 定义一个规划问题
- 定义决策变量
- 添加约束条件
- 求解
实例
某厂生产甲乙两种饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名，获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名，获利9万元。
今工厂共有原料60千克、工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
- 问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
- 若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
- 若每百箱甲饮料获利可增加1万元，是否应否改变生产计划？
- 若每百箱甲饮料获利可增加1万元，若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
- 若不允许散箱（按整百箱生产），如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
问题1建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2
ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP1.solve()
print(ProbLP1.name) # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP1.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print("F1(x)=", pulp.value(ProbLP1.objective)) # 输出最优解的目标函数值问题2建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous') # 定义 x3
ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式约束
ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP2.solve()
print(ProbLP2.name) # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP2.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print("F2(x)=", pulp.value(ProbLP2.objective)) # 输出最优解的目标函数值问题3建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 3，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2
ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP3.solve()
print(ProbLP3.name) # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP3.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective)) # 输出最优解的目标函数值问题4建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量（单位：百箱）
x2：乙饮料产量（单位：百箱）
x3：增加投资（单位：万元）
目标函数：
max fx = 11*x1 + 9*x2 - x3
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous') # 定义 x3
ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60) # 不等式约束
ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP4.solve()
print(ProbLP4.name) # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP4.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print("F4(x) = ", pulp.value(ProbLP4.objective)) # 输出最优解的目标函数值问题5建模：
决策变量：
x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）
x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）
目标函数：
max fx = 10*x1 + 9*x2
约束条件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范围：
给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数
推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7
说明：本题中要求饮料车辆为整百箱，即决策变量 x1,x2 为整数，因此是整数规划问题。
ProbLP5 = pulp.LpProblem("ProbLP5", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer') # 定义 x1，变量类型：整数
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Integer') # 定义 x2，变量类型：整数
ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)
ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束
ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束
ProbLP5.solve()
print(ProbLP5.name) # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP5.status]) # 输出求解状态
for v in ProbLP5.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值
print("F5(x) =", pulp.value(ProbLP5.objective)) # 输出最优解的目标函数值