Python线性规划实例,用PuLP 库求解线性规划的建模与编程

什么是线性规划

线性规划(Linear programming),在线性等式或不等式约束条件下求解线性目标函数的极值问题,常用于解决资源分配、生产调度和混合问题。

线性规划问题的建模和求解,通常按照以下步骤进行:

  1. 问题定义,确定决策变量、目标函数和约束条件;
  2. 模型构建,由问题描述建立数学方程,并转化为标准形式的数学模型;
  3. 模型求解,用标准模型的优化算法对模型求解,得到优化结果;

PuLP 库求解线性规划 

PuLP是一个开源的第三方工具包,可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划问题。下面以该题为例讲解 PuLP 求解线性规划问题的步骤:

  1. 导入 PuLP库函数 
  2. 定义一个规划问题
  3. 定义决策变量
  4. 添加约束条件
  5. 求解

实例

某厂生产甲乙两种饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名,获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名,获利9万元。

今工厂共有原料60千克、工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。

  1. 问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大?
  2. 若投资0.8万元可增加原料1千克,是否应作这项投资?投资多少合理?
  3. 若每百箱甲饮料获利可增加1万元,是否应否改变生产计划?
  4. 若每百箱甲饮料获利可增加1万元,若投资0.8万元可增加原料1千克,是否应作这项投资?投资多少合理?
  5. 若不允许散箱(按整百箱生产),如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大? 

 问题1建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 1,求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2)  # 设置目标函数 f(x)
ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60)  # 不等式约束
ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
ProbLP1.solve()
print(ProbLP1.name)  # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status])  # 输出求解状态
for v in ProbLP1.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F1(x)=", pulp.value(ProbLP1.objective))  # 输出最优解的目标函数值

 问题2建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
    x3:增加投资(单位:万元)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 2,求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous')  # 定义 x3
ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60)  # 不等式约束
ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
ProbLP2.solve()
print(ProbLP2.name)  # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status])  # 输出求解状态
for v in ProbLP2.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F2(x)=", pulp.value(ProbLP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

 问题3建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 11*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 3,求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
ProbLP3.solve()
print(ProbLP3.name)  # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status])  # 输出求解状态
for v in ProbLP3.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective))  # 输出最优解的目标函数值

 问题4建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
    x3:增加投资(单位:万元)
  目标函数:
    max fx = 11*x1 + 9*x2 - x3
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 2,求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous')  # 定义 x3
ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60)  # 不等式约束
ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
ProbLP4.solve()
print(ProbLP4.name)  # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status])  # 输出求解状态
for v in ProbLP4.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F4(x) = ", pulp.value(ProbLP4.objective))  # 输出最优解的目标函数值

 问题5建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量,正整数(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量,正整数(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8,x1, x2 为整数
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7

说明:本题中要求饮料车辆为整百箱,即决策变量 x1,x2 为整数,因此是整数规划问题。

ProbLP5 = pulp.LpProblem("ProbLP5", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 1,求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer')  # 定义 x1,变量类型:整数
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Integer')  # 定义 x2,变量类型:整数
ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
ProbLP5.solve()
print(ProbLP5.name)  # 输出求解状态
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP5.status])  # 输出求解状态
for v in ProbLP5.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F5(x) =", pulp.value(ProbLP5.objective))  # 输出最优解的目标函数值

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