微积分入门（续）

目录

0 前言

• 前言

1 微分

• 瞬时变化率、极限
• 求导、三角函数导数
• 导数几何意义
• 导数运算法则
• 指对反三角的导数
• 洛必达法则

2 积分

• 积分的定义
• 积分的几何意义、运算法则
• 柯西主值、$\Gamma$ 函数
• 一些公式推导
• 托里拆利小号
• 圆锥和球的公式推导

3 卷积

• 离散卷积
• 函数卷积、矩阵卷积
• 向量卷积
• Nabla （ $\nabla$ ）算子
• 卷积运算性质
• 卷积对一些特定函数的性质

4 重积

• 多元函数
• 偏微分
• 梯度、散度
• 微分形式的麦克斯韦方程组
• 二重积分
• 二重积分的运算律

5 曲积

• 曲线积分的定义
• 环路积分的定义
• 类
• 环路积分的计算
• 其它曲线积分的计算
• 积分形式的麦克斯韦方程组

6 总结

• 总结

前文（建议阅读）

3x01 卷积（其一）——卷积的定义（上）

现在，我们同时扔出两个骰子，考虑点数和为 $n$ 的可能性。当然，你可以一个一个的去计算，但问题在于，如果 每个骰子掷出每个点数的概率不相等 ，则不好计算。因此，我们定义了一种方法，即卷积。

考虑两个数组 $A$ 和 $B$ ：

A:1 2 3 4 
B:8 7 6 5 

现在，我们让 $B$ 颠倒过来，放到 $A$ 的右下角：

        1 2 3 4
5 6 7 8 

我们不妨定义此时卷积为 $0$ 。

现在，我们让 $B$ 向右滑动：

        1 2 3 4
  5 6 7 8

计算它们重合部分两两对应的积之和，在这里是 $1\times 8=8$ 。

现在，让 $B$ 再往右滑动：

        1 2 3 4
    5 6 7 8

现在，它们重合部分的积之和为 $1\times 7+2\times 8=23$ 。

再让 $B$ 往右滑动：

        1 2 3 4
      5 6 7 8

此时它们重合部分的积之和为 $1\times 6+2\times 7+3\times 8=44$ 。

再往右滑动：

        1 2 3 4
        5 6 7 8

此时它们完全重合，重合部分的积之和为 $1\times 5+2\times 6+3\times 7+4\times 8=70$ 。

还没完，我们继续将其向左滑动，直到两者彻底分离，就像火车错车这样。

        1 2 3 4
          5 6 7 8
(56)

        1 2 3 4
            5 6 7 8
(39)

        1 2 3 4
              5 6 7 8
(20)

        1 2 3 4
                5 6 7 8
(0)

因此，我们得出它们的卷积为：

A*B:0 8 23 44 70 56 39 20 0

记作 $A\ast B$ 。

大致可以得到其图像如下：

你可能觉得这有些太陡了，实际上进行卷积的数组和函数基本的值都在 $[0,1]$ 之间。

你也可以这样考虑卷积：定义一个表格，其表格中的元素为其所对应的行和列的值之积：

   1  2  3  4
8  8 16 24 32
7  7 14 21 28
6  6 12 18 24
5  5 10 15 20

然后，将其每条主对角线上的元素相加，结果为：

A*B:8 23 44 70 56 39 20

可以看到，这样的做法忽略了 $0$ ，但是这种算法有很大的优化空间，可以帮助我们计算卷积更加的快速。

3x02 卷积（其二）——卷积的定义（下）

现在，我们有两个信号，$f(x)$ 和 $g(x)$ ，其中：
$$f(x)=g(x)=\{\begin{array}{l}1,|x|\le \frac{1}{2}\\ \\ 0,\text{else}\end{array}$$
现在，将 $g(x)$ 对称（其实对称后还是一样）划至最左边，随后向右移动，记录 $g(x)$ 和 $f(x)$ 重叠的部分：

则它们的卷积为
$${\int }_0^{x}f(x)\cdot g(x-t)dt=-|x|+1$$
我们已经见识了卷积的定义：
$$f(x)\ast g(x)={\int }_0^{x}f(x)\cdot g(x-t)dt$$
现在我们来运用一下，求 $x^2\ast x$ 。
$$x^2\ast x={\int }_0^x{x}^2\cdot (x-t)dt={\int }_0^x(x^3-x^{2}t)dt$$

视 $x$ 为常数，可得原积分为：
$$\int (-C_{1}t+C_2)dt=-\frac{C_1}{2}{t}^2+C_{2}t+C$$
令上式为 $h(x)$ 。

即
$$x^2\ast x=\underset{p\to x}{\lim }h(p)-\underset{q\to 0}{\lim }h(q)=-\frac{x^5}{2}+x^3$$
图像如下：

（说实话，有点怪）

卷积也可以用于图像处理。我们来考虑矩阵的卷积。

有两个矩阵， $A$ 和 $B$ ：
A = [ 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ] A= \left[ \begin{array}{ccc} 0&1&1&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&1&1&1&1\\ 0&1&1&1&1\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right] A= ​00000​11110​11110​00110​00110​ ​
B = [ 1 0 − 1 1 0 − 1 1 0 − 1 ] B= \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&0&-1\\ 1&0&-1 \end{array} \right] B= ​111​000​−1−1−1​ ​
想象一下，我们将 $B$ 作为一个蒙板，将其蒙在 $A$ 的某一个位置上面，随后将被 $B$ 蒙住的像素（暂且这么叫）乘以对应的权重，将所得的和记载在 $A\ast B$ 上面。

这里不再展示详细的过程，我们直接看结果：
A ∗ B = [ − 2 − 2 2 2 0 − 3 − 3 2 2 1 − 3 − 3 1 1 2 − 2 − 2 0 0 2 − 1 − 1 0 0 1 ] A*B= \left[ \begin{array}{ccc} -2&-2&2&2&0\\ -3&-3&2&2&1\\ -3&-3&1&1&2\\ -2&-2&0&0&2\\ -1&-1&0&0&1 \end{array} \right] A∗B= ​−2−3−3−2−1​−2−3−3−2−1​22100​22100​01221​ ​
可以看见，$B$ 筛出了所有竖向的边缘。下面是 $B$ 作用在一个更大的图像上的结果：

红色为正，蓝色为负。