python时域转频域_理解波动（三）：从频域到时域

在理解波动(二)：以有限计算无限——人工边界条件中，我们说到了如何把“无限远”处理为一种特殊的边界条件。通过这样的处理，一个无阻尼的无界结构等效为一个在边界上具有强阻尼的有限结构。这样，原先由近场流向远场的能量现在流向了等价的边界阻尼器中——已经似乎都很完美。尤其是对于标准波动方程，其ABC既可以用于频域又可以用于时域。但对于弯曲波，还有一个小问题待讨论，那就它的ABC的等价阻尼系数与频率有关，不能处理为阻尼力。边界处的力与位移实际上是“分数阶导数”的关系。这导致它只能直接用于计算频域响应(或只含一个频率成分的激励力)，那么，如何计算无限梁对任意激励的时域响应呢？

无界梁的频域响应计算

欧拉伯努力梁的人工边界可以表示为两个传递函数，分别是：

位移-内力传递函数：

转角-弯矩传递函数：

对于一个无界梁，其近场用有限元建模，如果左边界节点编号是1，右边界是

号，那么可以将其动力学方程写为：

其中，

力向量也按照对应关系排序。

这样，边界传函矩阵写为：

在每个频率下生成边界传递函数矩阵，并组集到总动力刚度矩阵中，求解：

即可获得无限结构的频响函数(Frequency response function)，这里我们举一个例子来说明。

同样采用在理解波动(二)中使用过的均匀无界梁，在原点处受点激励，通过上述方法可以获得其原点FRF，同时这个问题又存在理论解，可以进行对比验证。

首先，在原点处施加集中单位力，求原点处的速度响应，为：

其次，在原点处施加单位弯矩，求原点处的速度响应，为：

图中同时绘出了其解析解，可以发现具有人工边界条件的有限元模型得出了非常精确的结果。解析解的相关文献会在理解波动的最后一条博客中单独列出。

从频域到时域

然而，我们的问题是，如何计算无限结构在仍以时序激励下的响应，比如，当激振力的时序为如下信号(只有一个完整周期的正弦，其余为零)时：

结构的响应是什么？

要回答这个问题，其实无关结构是有界还是无界，只需要确定系统是否是线性系统，即是否有线性偏微分方程描述。如果是，则其时序响应的获得可以通过所谓的“杜哈梅积分”获得。具体地，线性系统的输出等于输入信号与单位脉冲响应信号的卷积。由傅立叶变换的卷积定理，两个信号卷积的频谱等于其频谱的乘积。根据这些定理，我们就可以计算出对上述信号的时序响应了。

首先，将上述激振力的信号作傅立叶变换，得：

激振力频谱

细节

然后将该频谱按照对应频率乘以前述传递函数(速度对横向力力的那一个)，得：

响应频谱

细节

这就是响应的频谱了，最后将它作傅立叶反变换，即可得时序响应(下图中红线)：

讨论

通过上述操作，我们获得了当激振力是一个周期的正弦时，无界梁在受力点的时序响应。作为对比，将理解波动(一)中在有界梁上的结果也画了出来。其中清晰地表明了哪些是直接由激振力引起的扰动，哪些是边界反射回来的扰动。由于无界梁不存在边界，因此只包含了直接由激振力引起的扰动，而这一部分与有界梁的响应十分吻合，说明了计算的正确性。

于此同时，无界梁的FRF也值得玩味：其中并没有有界结构中常见的若干个共振峰，这可以宏观地理解为“既然共振是驻波，那么无界结构没有边界，没有反射波，也就无法形成驻波”，也可以更具体地理解为“远场经由人工边界处理，等效为边界上的强阻尼，使所有的振动模态都处于过阻尼状态，因此消除了所有的共振峰”。