正态总体的样本均值与样本方差的分布

文章目录

  • 小知识
  • 定理1
  • 定理2
  • 定理3
    • 证明:
  • 定理4

小知识

  • 总体 X X X,均值方差存在,分别为 μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ,σ2
  • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X X X的一个样本
  • X ‾ , S 2 \overline{X},S^2 X,S2是样本均值和方差
  • 于是有 E ( X ‾ ) = μ , E ( S 2 ) = σ 2 E(\overline{X})=\mu,E(S^2)=\sigma^2 E(X)=μ,E(S2)=σ2 D ( X ‾ ) = σ 2 n D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}n D(X)=nσ2
  • 也就是说,样本均值和样本方差的期望=总体
  • 对于正态分布来说,只要确定①服从正态分布②已知期望和方差 ⇒ \Rightarrow 确定分布
    • X ∼ N ( μ , σ 2 ) ⇒ X ‾ 服 从 正 态 分 布 X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow\overline{X}服从正态分布 XN(μ,σ2)X

定理1

  • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)的一个样本
  • X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}n) XN(μ,nσ2)

定理2

  • X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn是来自 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)的一个样本
  • ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2χ2(n1)
  • X ‾ 与 S 2 \overline{X}与S^2 XS2相互独立

定理3

  • X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) S/n Xμt(n1)

证明:

  • X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) σ/n XμN(0,1)
  • ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2χ2(n1)

定理4

  • X 1 , . . . , X n 1 ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y 1 , . . . , Y n 2 ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X_1,...,X_{n_1}\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y_1,...,Y_{n_2}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) X1,...,Xn1N(μ1,σ12),Y1,...,Yn2N(μ2,σ22)
  • ( X 1 , . . . , X n 1 ) 与 ( Y 1 , . . . , Y n 2 ) (X_1,...,X_{n_1})与(Y_1,...,Y_{n_2}) (X1,...,Xn1)(Y1,...,Yn2)相互独立
  • S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1) σ12/σ22S12/S22F(n11,n21)
  • σ 1 = σ 2 = σ \sigma_1=\sigma_2=\sigma σ1=σ2=σ时, ( X ‾ − Y ‾ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{S_{w} \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}} \sim t\left(n_{1}+n_{2}-2\right) Swn11+n21 (XY)(μ1μ2)t(n1+n22) S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 , S w = S w 2 S_{w}^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}, \quad S_{w}=\sqrt{S_{w}^{2}} Sw2=n1+n22(n11)S12+(n21)S22,Sw=Sw2

你可能感兴趣的:(概率论)