窗函数法设计FIR中，如何选择窗函数和阶数N

在用窗函数法设计FIR滤波器时，给出了滤波器要求的具体指标，包括通带频率fp、阻带频率fs、通带波纹Rp和阻带衰减As等，有了这些指标后，是否什么窗函数都可以选择呢？答案是否定的。那么怎么选择窗函数呢？在本小节中将说明窗函数的选择和滤波器阶数N的选择。

不同窗函数的阻带最小衰减是不相同的，例如我们要求阻带衰减为50dB，则矩形窗和汉宁窗的最小衰减分别为21dB和44dB，若用这两种窗函数，无论N有多长，都没有办法满足阻带衰减达到50dB。为了满足阻带衰减达到50dB，只有选择海明窗，因为它的阻带衰减能达到53dB。所以窗函数的选择主要是根据滤波器指标中对As的要求。在选择窗函数后又怎么决定滤波器的阶数N呢？在设定的滤波器指标中给出了通带频率fp和阻带频率fs，在通带频率fs和阻带频率fs之间是过渡带，设△f=fs-fp，，则过渡带应与对应窗函数的“精确过渡带宽”相等。设把精确过渡带宽表示为dw/N，则对于任意某一种窗函数就应有

△f=dw/N

这样可得N为

N=dw/△f

根据上表，以海明窗为例，N=6.6π/△f，注意在计算中，△f是归一化的角频率。综上所述，经过渡带可求出FIR滤波器的阶数。对于带通滤波器或带阻滤波器，通带频率有fp1及fp2，阻带频率有fs1及fs2，以带通滤波器为例，分别求出△f1=fp1-fs1及△f2=fs2-fp2，从△f1和△f2之间选择小的一个作为△f：

△f=min[△f1，△f2]

式中：min[·]表示选用最小值。

案例、要求设计一个低通滤波器，采样频率为100Hz,通带频率fp=3Hz，阻带频率fs=5Hz；而通带波纹Rp=3dB，阻带衰减As=50dB。由于设计要求As=50dB，分析可知选择海明窗能满足要求，所以在窗函数法中用海明窗。程序如下：

clear all; clc; close all

Fs=100;                          % 采样频率 
Fs2=Fs/2;                        % 奈奎斯特频率
fp=3; fs=5;                      % 通带和阻带频率
Rp=3; As=50;                     % 通带波纹和阻带衰减
wp = fp*pi/Fs2; ws = fs*pi/Fs2;  % 通带和阻带归一化角频率
deltaw= ws - wp;                 % 过渡带宽Δω的计算
N = ceil(6.6*pi/ deltaw);        % 按海明窗计算所需的滤波器阶数N(按式(3-13-1))
N = N + mod(N,2);                % 保证滤波器系数长N+1为奇数
wind = (hamming(N+1))';          % 海明窗计算
Wn=(3+5)/100;                    % 计算截止频率
b=fir1(N,Wn,wind);               % 用fir1函数设计FIR第1类滤波器
[db,mag,phs,gdy,w]=freqz_m(b,1); % 计算滤波器响应
% 作图
subplot 211; plot(w*Fs/(2*pi),db,'k','linewidth',2);
title('(a)低通滤波器的幅值响应');
grid; axis([0 20 -70 10]); 
xlabel('频率/Hz');  ylabel('幅值/dB')
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,3,5,20])
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0])
subplot 212; stem(1:N+1,b,'k');
xlabel('频率/Hz');  ylabel('幅值/dB')
title('(b)低通滤波器的脉冲响应');
xlabel('样点');  ylabel('幅值')
axis([0 167 -0.05 0.1]); 
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[1,84,167])
set(gcf,'color','w');

运行结果如下：

说明：
①因为选择了海明窗，按式N=dw/△f求出滤波器阶数N：
N = ceil(6.6 * pi/ deltaw)
②一般设计的FIR滤波器都是第1类FIR滤波器，要求脉冲序列长N是奇数。而从①
中求得的滤波器阶数N不知是偶数还是奇数。通过N = N + mod(N,2)

保证滤波器阶数N为偶数，而脉冲响应序列长将是N+1，即为奇数，满足第1类FIR滤波器要求。滤波器阶数若为N，脉冲响应序列的长度总为N+1，在FIR滤波器中脉冲响应序列的长度与滤波器阶数总差1。

③在计算窗函数长度时用的deltaw是归一化角频率，而在fir1函数中的Wn用的是归一化频率，这两者的单位是不同的，且截止频率Wn的计算是用Wn=（fp+fs）/2。

运行程序后得上图,从图中可看出滤波器完全满足设计的要求，在5Hz处阻带衰减大于50dB。

参考文献：MATLAB数字信号处理85个实用案例精讲——入门到进阶；宋知用（编著）