滑模控制理论（SMC）概述

一、背景

滑模控制理论（Sliding Mode Control, SMC）是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，主要数学核心为李雅普诺夫函数。
滑模控制的核心思想是建立一个滑模面，将被控系统拉取到滑模面上来，使系统沿着滑模面运动。滑模控制的一个优势是无视外部扰动和不确定参数，采用一种比较“暴力”的方式达到控制的目的。
其思想和反步法有些类似，但数学实现起来更加方便而不抽象。相比反步法，滑模控制没有复杂的数学计算，也不会出现“微分爆炸”的问题。但另一方面，滑模控制所采用的控制信号大多是具有正负值反复交替的信号，对于硬件要求很高，一般硬件无法达到这种信号高频来回切换的要求，因此这是滑模控制的一个缺点。
除此之外，信号高频切换所导致的输出信号会出现振荡，系统状态在所选取的滑模面附近来回颤动，这种颤动是无法消除的。这也是滑模控制的一个痛点，目前主流的方法大多是采用滤波、模糊控制、神经网络等方法对震颤进行缓解。

二、数学理论

这里以一个三阶系统为例。
设有一个标准三阶系统
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ {\dot{x}}_3=f(x)+g(x)u\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$g(x)$是$u$前面的系数公式，大多情况下是常数表达式，也存在一些$g(x)$为$x$的函数的情况。下文中把$f(x)$和$g(x)$略写为$f$和$g$。

假设$x_1$的期望值为$x_{1d}$。那么可以写出各个$x_i$的误差$e_i$表达式：
$$\{\begin{array}{l}{e}_1=x-x_{1d}=x_1-x_{1d}\\ e_2={\dot{e}}_1=\dot{x}-{\dot{x}}_{1d}=x_2-{\dot{x}}_{1d}\\ e_3={\dot{e}}_2=\ddot{x}-{\ddot{x}}_{1d}=x_3-{\ddot{x}}_{1d}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$立即设计滑模面
$$s=c_1{e}_1+c_2{e}_2+e_3=\sum _{i=1}^3{c}_i{e}_i=0\text{\hspace{1em}(3)}$$其中$e_3$前系数为1。
那么滑模面$s$的导数为
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =c_1{\dot{e}}_1+c_2{\dot{e}}_2+{\dot{e}}_3\\ & =c_1{e}_2+c_2{e}_3+{\dot{x}}_3-x_{1d}^{(3)}\\ & =c_1{e}_2+c_2{e}_3+f+gu-x_{1d}^{(3)}\\ & =\Gamma +f+gu-x_{1d}^{(3)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
并设计李雅普诺夫函数
$$V=\frac{1}{2}{s}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$并对其求导
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s\left(\Gamma +f+gu-x_{1d}^{(3)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
到这一步为止好像进入了死胡同，（6）式不能再进一步化简，因此需要考虑下一步内容，即考虑（6）式中的取值范围。

另一方面，由于控制量$u$是需要进行设计的，因此不妨先在（6）式中将$u$单独列出
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\left(\Gamma +f+gu-x_{1d}^{(3)}\right)\\ & =s\left(\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}\right)+sgu\\ & =s\left[\left(\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}\right)+gu\right]\\ & =sg\left(\frac{\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}}{g}+u\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
可以看出，（7）式右侧第一项与控制量$u$无关，第二项只含$u$本身。
设计$u$具有以下形式
$$u=-k\cdot sgn(s)\text{\hspace{1em}(8)}$$那么（7）式变为
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =sg\left(\frac{\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}}{g}+u\right)\\ & =sg\left(\frac{\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}}{g}-k\cdot sgn(s)\right)\\ & =s\left(\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}\right)-kg|s|\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$到这里已经可以看出，（9）式右边第二项已经满足$\le 0$了，现在只要看第一项即可。
对于第一项有
$$s\left(\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}\right)\le |s||\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}|$$因此
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\left(\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}\right)-kg|s|\le |s||\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}|-kg|s|\\ & =|s|\left(|\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}|-kg\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$可见，只要设计满足$|\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}|-kg\le 0$，那么就能有$\dot{V}\le 0$。

换句话说，（8）式$u=-k\cdot sgn(s)$中的$k$只要满足
$$k\ge \frac{|\Gamma +f-x_{1d}^{(3)}|}{g}\text{\hspace{1em}(11)}$$那么所设计的控制$u$就能使李雅普诺夫函数$V$满足$\dot{V}\le 0$，从而达到稳定。

三、高维拓展

将上述结论拓展到高维系统
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}=x_n\\ {\dot{x}}_n=f(x)+g(x)u\end{array}$$写出各个$x_i$的误差$e_i$表达式：
$$\{\begin{array}{l}{e}_1=x-x_{1d}=x_1-x_{1d}\\ e_2={\dot{e}}_1=\dot{x}-{\dot{x}}_{1d}=x_2-{\dot{x}}_{1d}\\ ⋮\\ e_{n-1}=e_1^{(n-2)}=x^{(n-2)}-x_{1d}^{(n-2)}=x_{n-1}-x_{1d}^{(n-2)}\\ e_n={\dot{e}}_{n-1}=\ddot{x}-{\ddot{x}}_{1d}=x_3-{\ddot{x}}_{1d}\end{array}$$立即设计滑模面
$$s=c_1{e}_1+c_2{e}_2+\cdots +c_{n-1}{e}_{n-1}+e_n=\sum _{i=1}^3{c}_i{e}_i=0$$其中$e_n$前系数为1。
滑模面$s$的导数为
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{e}_{i+1}+f+gu-x_{1d}^{(n)}\\ & ={\Gamma }^{\prime }+f+gu-x_{1d}^{(n)}\end{array}$$李雅普诺夫函数不变，其导数为
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\left({\Gamma }^{\prime }+f+gu-x_{1d}^{(n)}\right)\\ & =sg\left(\frac{{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}}{g}+u\right)\end{array}$$
设计$u$形式仍为（8）式，于是
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =sg\left(\frac{{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}}{g}+u\right)\\ & =sg\left(\frac{{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}}{g}-k\cdot sgn(s)\right)\\ & =s\left({\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}\right)-kg|s|\end{array}$$
并且同理
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\left({\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}\right)-kg|s|\le |s||{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}|-kg|s|\\ & =|s|\left(|{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}|-kg\right)\end{array}$$同样的结论：只要设计满足$|{\Gamma }^{\prime }+f-x_{1d}^{(n)}|-kg\le 0$，那么就能有$\dot{V}\le 0$。

可以看出，高维情况下的控制律（8）设计一点不会改变，改变的仅仅是$k$的取值范围，而这部分改变也是因为$k$表达式中${\Gamma }^{\prime }$改变了形式（从三阶下的$c_1{e}_2+c_2{e}_3$变为了${\sum }_{i=1}^{n-1}{c}_i{e}_{i+1}$）。

四、分析

从控制律（8）式可以看出，对$u$的限制仅仅存在于$k$上，只要$k$满足了条件（11），那么$u$所在的李雅普诺夫函数就能实现稳定，进而系统的滑模面也是稳定的，系统就能被拉取到滑模面$s$上，达到理想的控制效果。

可以看出，（8）式里并没有$f$项，即并没有扰动项等其他不确定项，因此，滑模控制可以无视不确定项和扰动，直接用“暴力”的方式达到控制效果。

但另一方面，（8）式采用的是根据$s$符号来输出信号的形式，当系统在滑模面附近来回摆动时，$s$的符号会不断地、高频地变化，因此$u$的值和符号也会不断地、高频地变化，反应到实际情况下就是硬件不断高频地在正负信号之间变换，这对硬件系统是一种考验，大多数硬件系统无法承受这样的高负荷工作，这是滑模控制的一个缺点。