0-1背包问题动态规划模型的Python解法

1.01背包问题

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V

01背包即每种物品的数量为1，可以选择放或者不放

---

2.Python解决方案

算法代码：

import numpy as np


# 0-1背包算法
def knapsack(v, w, n, capacity):
    i = 0
    capacity = capacity + 1  # 初始化背包容量最大值
    m = np.zeros((n, capacity))  # 初始化
    x = np.zeros(n)
    for i in range(n):
        for j in range(capacity):
            if (j >= w[i]):
                m[i][j] = max(m[i - 1][j], m[i - 1][j - w[i]] + v[i])
            else:
                m[i][j] = m[i - 1][j]
    print('动态规划装载表:\n', m)
    capacity = capacity - 1
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        if (m[i][capacity] == m[i - 1][capacity]):
            x[i] = 0
        else:
            x[i] = 1
            capacity -= w[i]
    x[0] = 1 if (m[1][capacity] > 0) else 0
    weight = 0
    value = 0
    print('装载的物品编号为：')
    for i in range(len(x)):
        if (x[i] == 1):
            weight = weight + w[i]
            value = value + v[i]
            print(' ', i + 1)
    print('装载的物品重量为：')
    print(weight)
    print('装入的物品价值为：')
    print(value)
    return m


file_name = ['input_assgin02_01.dat', 'input_assgin02_02.dat', 'input_assgin02_03.dat',
             'input_assgin02_04.dat', 'input_assgin02_05.dat']
# 循环读取文件数据
for file_name in file_name:
    a = np.loadtxt(file_name)
    n = int(a[0][0])  # 读取物品数量
    capacity = int(a[0][1])
    print('--------------------------------------------------------------------------------------------------')
    print('{0}文件中的测试结果：'.format(file_name))
    print('物品数量为：\n', n, '\n背包载重量为：\n', capacity)
    w = [0] * n  # 初始化物品重量列表
    value = [0] * n  # 初始化物品价值列表
    a = np.loadtxt(file_name, skiprows=1, dtype=int)
    for i in range(n):
        w[i] = int(a[i][0])  # 读取物品重量列表
        value[i] = int(a[i][1])  # 读取物品价值列表
    print('物品的重量列表为：\n', w, '\n物品的价值列表为：\n', value)
    knapsack(value, w, n, capacity)

数据文件，以input_assgin02_01.dat文件为例：

5 10
2 6
2 3
6 5
5 4
4 6

第一行的5和10分别是物品数量和背包载重量

随后的5行为物品的重量和价值

程序会得出动态规划装载表及最终的运算结果：

--------------------------------------------------------------------------------------------------
input_assgin02_01.dat文件中的测试结果：
物品数量为：
 5 
背包载重量为：
 10
物品的重量列表为：
 [2, 2, 6, 5, 4] 
物品的价值列表为：
 [6, 3, 5, 4, 6]
动态规划装载表:
 [[ 0.  0.  6.  6.  6.  6.  6.  6.  6.  6.  6.]
 [ 0.  0.  6.  6.  9.  9.  9.  9.  9.  9.  9.]
 [ 0.  0.  6.  6.  9.  9.  9.  9. 11. 11. 14.]
 [ 0.  0.  6.  6.  9.  9.  9. 10. 11. 13. 14.]
 [ 0.  0.  6.  6.  9.  9. 12. 12. 15. 15. 15.]]
装载的物品编号为：
  1
  2
  5
装载的物品重量为：
8
装入的物品价值为：
15

---

3.01背包问题例题