递归算法时间与空间复杂度分析

递归算法时间与空间复杂度分析
主要以leetcode中跳台阶的算法题来进行讲解
题例如下：
‘’‘问题描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
数据范围：1≤n≤40’‘’
递归算法时间复杂度的计算公式：
递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度。
空间复杂度的计算公式：
递归算法的空间复杂度 = 递归的深度 * 每次递归的空间复杂度。

一个高度为k的二叉树最多可以由 2^（k- 1）个叶子节点，也就是递归过程函数调用的次数,所以时间复杂度是：
O(2^n) （通过二叉树的分析可得）
时间复杂度的视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1kP4y137G8?spm_id_from=333.337.search-card.all.click
在程序运行过程中，时间只是进行叠加，并没有乘除的概念。
这里要注意T(n)=n*T(n-1)的递归方式与T(n)=T(n-1)+T(n-2)的递归方式所计算时间复杂度的不同。其中第一种的时间复杂度的讲解视频：https://www.bilibili.com/video/BV1kQ4y1o7jx/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0

视频中对于nf(n-1)的时间复杂度的分析：其中n乘的时间复杂度为O(1)，因为对于n来说只是一个常数而已，而f(n-1)的时间复杂度为T(n-1),则有T(n)=O(1)+T(n-1)，T(n-1)=O(1)+T(n-2)，所以有T(n)=2O(1)+T(n-2),依次类推，则有T(n)=(n-1)*O(1)+T(1)，又因为T(1)的时间复杂度为O(1)，所以T(n)的时间复杂度为O(n)。
而对于f(n)=f(n-1)+f(n-2)的这种形式，则是采用二叉树的方式进行时间复杂度的分析，末端的节点个数为1个，即2^0，倒数第二个的节点个数为2个，即为2的1次方，依次类推，第三个为2的2次方，然后最后一个为2的(n-1)次方，由等比数列的求和公式
可知，这类递归的时间复杂度为O(2^N)