【不定积分公式推导】1/根号a平方+x平方的不定积分
结论：
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ∣ x + a 2 + x 2 ∣ + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C ∫x2+a21dx=ln∣x+a2+x2∣+C
推导过程：
令 x = a ∗ tan t , ⇒ tan t = x a ； d x = a ∗ ( tan t ) ′ d t = a cos 2 t d t 令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt 令x=a∗tant,⇒tant=ax；dx=a∗(tant)′dt=cos2tadt
tan 2 t = x 2 a 2 = 1 − cos 2 t c o s 2 t = 1 c o s 2 t − 1 ⇒ cos t = a x 2 + a 2 \tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} tan2t=a2x2=cos2t1−cos2t=cos2t1−1⇒cost=x2+a2a
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 a 2 ∗ tan 2 t + a 2 ∗ a cos 2 t d t \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{a^2*\tan^2t+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt ∫x2+a21dx=∫a2∗tan2t+a21∗cos2tadt
= ∫ a a ∗ 1 cos t ∗ cos 2 t d t =\int\frac{a}{a*\frac{1}{\cos t}*\cos^2t}dt =∫a∗cost1∗cos2tadt
= ∫ d t cos t = ∫ 1 cos 2 t d sin t =\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t =∫costdt=∫cos2t1dsint
= 1 2 ∫ ( 1 1 + sin t + 1 1 − sin t ) d sin t =\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
= 1 2 ( ln ∣ 1 + sin t ∣ − ln ∣ 1 − sin t ∣ ) + C =\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
= 1 2 ln ∣ 1 + sin t 1 − sin t ∣ + C = 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 1 − sin 2 t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =21ln∣1−sint1+sint∣+C=21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
= 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 cos t 2 t ∣ + C = ln ∣ 1 + sin t cos t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=ln∣cost1+sint∣+C
= ln ∣ 1 cos t + tan t ∣ + C =\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =ln∣cost1+tant∣+C
= ln ∣ a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =ln∣aa2+x2+ax∣+C
= ln ∣ a 2 + x 2 + x ∣ − ln a + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln a+C =ln∣a2+x2+x∣−lna+C
= ln ∣ a 2 + x 2 + x ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C =ln∣a2+x2+x∣+C
注释：
真 心 记 不 住 sec x , csc x , cot x 函 数 运 算 转 换 ， 但 是 只 要 记 住 他 们 分 别 是 cos x , sin x , tan x 的 倒 数 就 够 了 真心记不住\sec x,\csc x,\cot x函数运算转换，但是只要记住他们分别是\cos x,\sin x,\tan x的倒数就够了 真心记不住secx,cscx,cotx函数运算转换，但是只要记住他们分别是cosx,sinx,tanx的倒数就够了
补充
评论说未考虑负号的情况，其实是一样的，过程如下：
推导过程：
令 x = a ∗ tan t , ⇒ tan t = x a ； d x = a ∗ ( tan t ) ′ d t = a cos 2 t d t 令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt 令x=a∗tant,⇒tant=ax；dx=a∗(tant)′dt=cos2tadt
tan 2 t = x 2 a 2 = 1 − cos 2 t c o s 2 t = 1 c o s 2 t − 1 ⇒ cos t = ± a x 2 + a 2 \tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\pm\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} tan2t=a2x2=cos2t1−cos2t=cos2t1−1⇒cost=±x2+a2a
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 x 2 + a 2 ∗ a cos 2 t d t \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt ∫x2+a21dx=∫x2+a21∗cos2tadt
= ∫ 1 x 2 + a 2 ∗ x 2 + a 2 a d t = ∫ x 2 + a 2 a d t =\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{x^2+a^2}{a}dt=\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}dt =∫x2+a21∗ax2+a2dt=∫ax2+a2dt
从这里开始讨论：
如果, cos t = a x 2 + a 2 \cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} cost=x2+a2a，那么和之前解法一样：
原 式 = ∫ d t cos t = ∫ 1 cos 2 t d sin t 原式=\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t 原式=∫costdt=∫cos2t1dsint
= 1 2 ∫ ( 1 1 + sin t + 1 1 − sin t ) d sin t =\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
= 1 2 ( ln ∣ 1 + sin t ∣ − ln ∣ 1 − sin t ∣ ) + C =\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
= 1 2 ln ∣ 1 + sin t 1 − sin t ∣ + C = 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 1 − sin 2 t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =21ln∣1−sint1+sint∣+C=21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
= 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 cos t 2 t ∣ + C = ln ∣ 1 + sin t cos t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=ln∣cost1+sint∣+C
= ln ∣ 1 cos t + tan t ∣ + C =\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =ln∣cost1+tant∣+C
= ln ∣ a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =ln∣aa2+x2+ax∣+C
= ln ∣ a 2 + x 2 + x ∣ − ln ∣ a ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln |a|+C =ln∣a2+x2+x∣−ln∣a∣+C
= ln ∣ a 2 + x 2 + x ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C =ln∣a2+x2+x∣+C
如果 cos t = − a x 2 + a 2 \cos t=-\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} cost=−x2+a2a：
原 式 = ∫ − d t cos t = ∫ − 1 cos 2 t d sin t 原式=\int-\frac{dt}{\cos t}=\int-\frac{1}{\cos^2t}d\sin t 原式=∫−costdt=∫−cos2t1dsint
= − 1 2 ∫ ( 1 1 + sin t + 1 1 − sin t ) d sin t =-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =−21∫(1+sint1+1−sint1)dsint
= − 1 2 ( ln ∣ 1 + sin t ∣ − ln ∣ 1 − sin t ∣ ) + C =-\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =−21(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C
= − 1 2 ln ∣ 1 + sin t 1 − sin t ∣ + C = − 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 1 − sin 2 t ∣ + C =-\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =−21ln∣1−sint1+sint∣+C=−21ln∣1−sin2t(1+sint)2∣+C
= − 1 2 ln ∣ ( 1 + sin t ) 2 cos t 2 t ∣ + C = − ln ∣ 1 + sin t cos t ∣ + C =-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=-\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =−21ln∣cost2t(1+sint)2∣+C=−ln∣cost1+sint∣+C
= − ln ∣ 1 cos t + tan t ∣ + C =-\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =−ln∣cost1+tant∣+C
= − ln ∣ − a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =-\ln|\frac{-\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =−ln∣a−a2+x2+ax∣+C
= − ln ∣ x − a 2 + x 2 a ∣ + C =-\ln|\frac{x-\sqrt{a^2+x^2}}{a}|+C =−ln∣ax−a2+x2∣+C
= − ln ∣ a 2 + x 2 − x ∣ − ln ∣ a ∣ + C =-\ln|\sqrt{a^2+x^2}-x|-\ln |a|+C =−ln∣a2+x2−x∣−ln∣a∣+C
= ln ∣ ( a 2 + x 2 − x ) − 1 ∣ − ln ∣ a ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}-x)^{-1}|-\ln |a|+C =ln∣(a2+x2−x)−1∣−ln∣a∣+C
= ln ∣ ( a 2 + x 2 + x ) a 2 + x 2 − x ) ∗ a 2 + x 2 + x ) ∣ − ln ∣ a ∣ + C =\ln|(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x)}{\sqrt{a^2+x^2}-x)*\sqrt{a^2+x^2}+x)}|-\ln |a|+C =ln∣(a2+x2−x)∗a2+x2+x)a2+x2+x)∣−ln∣a∣+C
= ln ∣ ( a 2 + x 2 + x ) ∣ − 3 ln ∣ a ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|-3\ln |a|+C =ln∣(a2+x2+x)∣−3ln∣a∣+C
= ln ∣ ( a 2 + x 2 + x ) ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|+C =ln∣(a2+x2+x)∣+C
一点思考
一个数开方后有两个解，正数一个解，负数一个解。
对本题而言，得到的不定积分，能得到两种表达形式：
取正数时，可以证明它等于表达式一；
取负数时，可以证明它等于表达式二；
我认为，直接取正数证明到原式等于表达式一即可。
当然这只是我的主观认知，实际对不对还有待商榷。
数学应该还是追求严谨的，实际上，通过后面的计算，两种表达式最终也是一样的。
另一种思考:
tan t = x a \tan t=\frac{x}{a} tant=ax,可以令t在（-pi/2,pi/2），tant在（-pi/2,pi/2）时，值域为全体实数，所以cost>0，上面证明也就不用讨论当cost<0的情况。