第二重要极限公式推导过程_【高等数学】两个重要的极限

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用两个重要的极限公式求极限,同时通过本文学习一种怎么使用公式的通用方法:

(1)看明白公式的形式特点

(2)强行变形为公式的形式(凑项变成公式形式+抵消保证式子相等)

一. 第一个重要极限

(1)

该公式形式特点:分子是

,分母是
,两个
相同,且趋于 0,则极限=1.

例1

:注意到

时有
, 则

(说明: 分子

,分母凑出
,再乘以
抵消,再乘以原来的
)

:原趋势 "

" 只要能保证
部分 "
" 趋于 0 即可,或者做一次趋势替换也可以。

二. 第二个重要极限

(2)

或者

左公式的形式特点:1 、+ 、

分之1 , 整体的
次幂,若
趋于
, 则极限
.

右公式的形式特点:1、+、

,整体的 1/
次幂,若
趋于 0,则极限
.

两个公式的共同特点都是,

型,1+的那项与幂次项互为倒数。

例2

解一: 注意到

时,有
,则

(说明: 凑出

的形式,再整体的
次幂,抵消掉该
, 再写上原来的
次幂)

解二:若改用右公式更简洁一些:

:原趋势

只要能保证
部分
即可,或者做一次趋势替换也可以。

注意:上述解题过程用到了如下的极限运算法则(极限的指数运算法则):

, 则

而它可以借助取对数法验证:

由于

连续,连续函数极限号与函数名可交换顺序:

从而,

综上,只需要记住两个重要极限的基本公式,并学会上述使用公式的方法,所有这样的求极限题都可以解决。

另外, 导数定义式也是一个特殊的极限公式:

三. 导数定义式

(3)

, 若
存在。

该公式的形式特点为:分子第 1 个

中是
, 分母是
, 若
趋于0,则极限
.

例3

存在,求

:

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