小曹小曹喜欢吃草
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两个重要极限及其推导过程

一、 \lim_{x\rightarrow 0}\tfrac{sinx}{x}=1 

证明：由上图可知，sinx<x<tanx

          \therefore 1<\tfrac{x}{sinx}<\tfrac{1}{cosx}

          即 cosx<\tfrac{sinx}{x}<1

          \because \lim_{x\rightarrow 0}cosx=1

          \therefore\lim_{x\rightarrow 0}\tfrac{sinx}{x}=1 

二、 \lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+\tfrac{1}{x} \right )^{x}=e

证明：首先证明此极限存在

          构造数列 x_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}

           x_n=1+C_{n}^{1}\frac{1}{n}+C_{n}^{2}\frac{1}{n^2}+C_{n}^{3}\frac{1}{n^3}+...+C_{n}^{n}\frac{1}{n^n}\\

                =1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n\left ( n-1 \right )}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+ \frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )}{3!}\cdot \frac{1}{n^3}+\cdot\cdot\cdot+ \frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\cdot\cdot\cdot1}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}

                =1+1+\frac{1}{2!}\cdot\left(1- \frac{1}{n}\right )+\frac{1}{3!}\cdot\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}\cdot\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n} \right )

                <2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot\cdot +\frac{1}{n!}

               <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdot\cdot\cdot++\frac{1}{2^{n-1}}

              =3-\frac{1}{2^{n-1}}

              <3

          而对于n+1

          x_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}

                   =1+1+\frac{1}{2!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )+\frac{1}{3!}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1} \right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )+\cdot\cdot\cdot+      

                       \frac{1}{n!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1} \right )+   

                       \frac{1}{\left(n+1 \right )!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1} \right )\left(1-\frac{n}{n+1} \right )

                   >x_n

          由单调有界数列必有极限可知，数列x_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}的极限一定存在。

         记此极限为 e

          对于实数 x，则总存在整数n，使得n\leqslant x\leqslant{n+1}

          则有 \left(1+\frac{1}{n+1} \right )^n < \left(1+\frac{1}{x} \right )^x < \left(1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}

          \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^n = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1} \right )}=\frac{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}}{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )}

                                         =\frac{e}{1+0}=e

           \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n+1} = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n} \left(1+\frac{1}{n} \right ) \right )

                                       = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )

                                       =e\cdot\left(1+0 \right )

                                       =e

          根据两边夹定理，函数 f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+\tfrac{1}{x} \right )^{x}的极限存在，为e

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  • 安装mysql daizj mysql安装
    安装mysql   (1)删除linux上已经安装的mysql相关库信息。rpm  -e  xxxxxxx   --nodeps (强制删除)      执行命令rpm -qa |grep mysql 检查是否删除干净   (2)执行命令  rpm -i MySQL-server-5.5.31-2.el
  • HTTP状态码大全 dcj3sjt126com http状态码
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  • asihttprequest上传图片 dcj3sjt126com ASIHTTPRequest
    NSURL *url =@"yourURL"; ASIFormDataRequest*currentRequest =[ASIFormDataRequest requestWithURL:url]; [currentRequest setPostFormat:ASIMultipartFormDataPostFormat];[currentRequest se
  • C语言中，关键字static的作用 e200702084 C++cC#
    在C语言中，关键字static有三个明显的作用： 1)在函数体，局部的static变量。生存期为程序的整个生命周期，（它存活多长时间）；作用域却在函数体内（它在什么地方能被访问（空间））。 一个被声明为静态的变量在这一函数被调用过程中维持其值不变。因为它分配在静态存储区，函数调用结束后并不释放单元，但是在其它的作用域的无法访问。当再次调用这个函数时，这个局部的静态变量还存活，而且用在它的访
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    1.  WIN7/8下要使用curl，需要下载curl-7.20.0-win64-ssl-sspi.zip和Win64OpenSSL_Light-1_0_2d.exe。 下载地址：  http://curl.haxx.se/download.html 请选择不带SSL的版本，否则还需要安装SSL的支持包   2.  可以给Windows增加c
  • Creating a Shared Repository; Users Sharing The Repository hongtoushizi git
    转载自：   http://www.gitguys.com/topics/creating-a-shared-repository-users-sharing-the-repository/ Commands discussed in this section: git init –bare git clone git remote git pull git p
  • Java实现字符串反转的8种或9种方法 Josh_Persistence 异或反转递归反转二分交换反转java字符串反转栈反转
    注：对于第7种使用异或的方式来实现字符串的反转，如果不太看得明白的，可以参照另一篇博客： http://josh-persistence.iteye.com/blog/2205768   /** * */ package com.wsheng.aggregator.algorithm.string; import java.util.Stack; /**
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    形象化设计模式实战             HELLO!架构                     redis命令源码解析   倒水问题：有两个杯子，一个A升，一个B升，水有无限多，现要求利用这两杯子装C
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    推荐大家使用数据库连接池 DruidDataSource. http://code.alibabatech.com/wiki/display/Druid/DruidDataSource DruidDataSource经过阿里巴巴数百个应用一年多生产环境运行验证，稳定可靠。 它最重要的特点是：监控、扩展和性能。 下载和Maven配置看这里： http
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  • JavaScript Rounding Methods of the Math object 何不笑 JavaScriptMath
        The next group of methods has to do with rounding decimal values into integers. Three methods — Math.ceil(),  Math.floor(), and  Math.round() — handle rounding in differen
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