条件随机场CRF(三)

上篇博文介绍了CRF的标记序列的概率计算，本片博文专注于CRF的参数学习问题和序列解码问题。

CRF模型参数学习思路

在CRF模型参数学习问题中，我们给定训练数据集$X$和对应的标记序列$Y$，$K$个特征函数$f_k(x,y)$,需要学习CRF的模型参数$w_k$和条件概率$P_w(y|x)$其中条件概率$P_w(y|x)$和模型参数$w_k$满足一下关系：
$$P_w(y|x)=P(y|x)=\frac{1}{Z_w(x)}exp\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)=\frac{exp\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)}{\sum _{y}exp\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)}$$
所以我们的目标就是求出所有的模型参数$w_k$，这样条件概率$P_w(y|x)$可以从上式计算出来。求解这个问题有很多思路，比如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法,下面我们只简要介绍用梯度下降法的求解思路。

CRF模型参数学习之梯度下降法求解

在使用梯度下降法求解模型参数之前，我们需要定义我们的优化函数，一般极大化条件分布$P_w(y|x)$的对数似然函数如下：
　$$L(w)=log\prod _{x,y}{P}_w(y|x{)}^{\overline{P}(x,y)}=\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)log{P}_w(y|x)$$其中，$\overline{P}(x,y)$为经验分布，可以从先验知识和训练集样本中得到,为了使用梯度下降法，我们现在极小化$f(w)=-L(P_w)$，具体求解如下：
　$$\begin{array}{rl}f(w)& =-\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)log{P}_w(y|x)\\ & =\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)log{Z}_w(x)-\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)\\ & =\sum _x\overline{P}(x)log{Z}_w(x)-\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)\\ & =\sum _x\overline{P}(x)log\sum _{y}exp\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)-\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(x,y)\end{array}$$
　对$w$求导可以得到：
　$$\frac{\partial f(w)}{\partial w}=\sum _{x,y}\overline{P}(x)P_w(y|x)f(x,y)-\sum _{x,y}\overline{P}(x,y)f(x,y)$$
　有了$w$的导数表达式，就可以用梯度下降法来迭代求解最优的$w$了，以上就是CRF模型参数学习之梯度下降法求解思路总结。

CRF模型维特比算法解码思路

CRF的标记序列解码问题，是指给定条件随机场的条件概率$P(y|x)$和一个观测序列$x$,要求出满足$P(y|x)$最大的序列$y$。维特比算法本身是一个动态规划算法，利用了两个局部状态和对应的递推公式，从局部递推到整体，进而得解。对于具体不同的问题，仅仅是这两个局部状态的定义和对应的递推公式不同而已。
对于我们CRF中的维特比算法，我们的第一个局部状态定义为${\delta }_i(l)$，表示在位置$i$标记$l$各个可能取值$(1,2...m)$对应的非规范化概率的最大值。之所以用非规范化概率是因为规范化因子$Z(x)$不影响最大值的比较。根据${\delta }_i(l)$的定义，我们递推在位置$i+1$标记$l$的表达式为：
$${\delta }_{i+1}(l)=\underset{1\le j\le m}{\max }\{{\delta }_i(j)+\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(y_i=j,y_{i+1}=l,x,i)\},l=1,2,...m$$
此外，我们需要用另一个局部状态${\Psi }_{i+1}(l)$来记录使${\delta }_{i+1}(l)$达到最大的位置$i$的标记取值,这个值用来最终回溯最优解，${\Psi }_{i+1}(l)$的递推表达式为：
$${\Psi }_{i+1}(l)=arg\underset{1\le j\le m}{\max }\{{\delta }_i(j)+\sum _{k=1}^K{w}_k{f}_k(y_i=j,y_{i+1}=l,x,i)\},l=1,2,...m$$
以上就是CRF的序列解码的基本思想，总结来说，CRF的三个基本问题：标记序列的概率计算–前向后向算法，参数学习问题–梯度下降法，序列解码问题–维特比算法，其中前向后向算法和维特比算法有着异曲同工之妙，都是基于动态规划的思想。这里所述CRF的三个基本问题其实在BI-LSTM-CRF中都有涉及，在训练的过程中涉及到参数的学习，计算总路径得分就用到了类似于前向后向的算法思想，值得注意的是，BI-LSTM-CRF中并不涉及到特征函数和权重，只需要学习到一个状态转移矩阵即可，但所用思想都是一样的。

CRF跟HMM的区别

linear-CRF模型和HMM模型有很多相似之处，尤其是其三个典型问题非常类似，除了模型参数学习的问题求解方法不同以外，概率估计问题和解码问题使用的算法思想基本也是相同的。同时，两者都可以用于序列模型，因此都广泛用于自然语言处理的各个方面。
现在来看看两者的不同点。最大的不同点是linear-CRF模型是判别模型，而HMM是生成模型，即linear-CRF模型要优化求解的是条件概率$p(x|y)$,则HMM要求解的是联合分布$p(x,y)$。第二，linear-CRF是利用最大熵模型的思路去建立条件概率模型，对于观测序列并没有做马尔科夫假设。而HMM是在对观测序列做了马尔科夫假设的前提下建立联合分布的模型。
最后想说的是，只有linear-CRF模型和HMM模型才是可以比较讨论的。但是linear-CRF是CRF的一个特例，CRF本身是一个可以适用于很复杂条件概率的模型，因此理论上CRF的使用范围要比HMM广泛的多。
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