复杂系统学习（三）：ODE模型I：捕食者—猎物

目录

1. Lotka-Volterra 模型

1.1 模型假设

1.2 模式制定

2. 解决ODEs问题的一些方法

2.1 用欧拉法解决ODEs问题

2.2 使用中点来提高准确性

2.3 使用Runge-Kutta方法解决ODEs问题

2.4 使用Matlab解决ODEs

3. Lotka-Volterra模型的行为

3.1 Lotka-Volterra模型的数值解法

3.2 分析Lotka-Volterra模型

4. 对Lotka-Volterra模型的扩展

4.1 有多个物种的Lotka-Volterra模型 

---

1. Lotka-Volterra 模型

Lynxes and hares

1.1 模型假设

捕食者：红狐狸——猎物：兔子

• 兔子的数量是可持续的（它们有充足的食物）。
• 如果没有红狐狸，兔子数量的增长速度与它的规模成正比
• 红狐狸只吃兔子
• 如果没有兔子吃，红狐狸的数量就会以与其规模成正比的速度下降。
• 环境是静止的，对种群的增长和衰亡速度没有影响 

1.2 模式制定

猎物（兔子）：

捕食者（红狐狸）：

 参数：

参数	含义
	兔群的增长率
	狐狸捕食（吃）兔子的速度
	狐狸种群的增长率
	狐狸数量因死亡和迁徙而衰减的速度

2. 解决ODEs问题的一些方法

2.1 用欧拉法解决ODEs问题

给定一组微分方程和一个初始条件，我们如何计算系统的未来状态？在系统中，有：

其中定义了变量及其导数之间的关系，欧拉正向差分法计算逼近序列

作为基本行为的时间梯度模拟

2.2 使用中点来提高准确性

与其说我们对下一个点的估计是基于区间起点的斜率，不如说我们可以通过使用中间点的斜率来提高准确性：

这种方法会更缓慢地偏离真实情况，但缺点是每次迭代需要更多的计算量。

2.3 使用Runge-Kutta方法解决ODEs问题

欧拉方法往往不够准确。通过利用和之间的更多的点，可以提高准确度。

Runge-Kutta系列方法采用了这种方法，最常用的是RK4，它计算的是

其中值是斜率的中间估计值：

2.4 使用Matlab解决ODEs

用于Lotka-Volterra模型的Matlab函数：

Matlab测试脚本：

3. Lotka-Volterra模型的行为

3.1 Lotka-Volterra模型的数值解法

上边的图是limited cycle，是不稳定的，排斥的。 

3.2 分析Lotka-Volterra模型

该系统的长期行为是什么？

平衡点：系统变量（种群水平R和F）不改变的点；

 两个平衡点：

解释：

• 平衡1：两个种群都灭绝了
• 平衡2：两个种群都无限期地维持在非零水平上

系统行为如何取决于其初始条件？

稳定性分析显示：

• 第一个平衡（两个种群都灭绝）是不稳定的；只有当猎物水平被设定为零时才会出现，这时捕食者也会消亡 
• 第二个平衡是稳定的；具体来说，它是中性稳定的，周围有无限多的周期性轨道。

这有多现实呢？另一个限制：

这张图有什么问题？

4. 对Lotka-Volterra模型的扩展

没有关于猎物种群承载能力的概念

logistic方程描述了种内竞争

基本的Lotka-Volterra模型捕捉了种间竞争

我们可以通过在Lotka-Volterra模型中增加一个额外的术语来综合这些观点，以解释同一物种成员之间的竞争：

右边的图是limited cycle，是稳定的，有吸引力的，有中心点，中心点是不动点。

还提出了其他的模型改进方案，以提高捕捉观察到的现象的能力 

4.1 有多个物种的Lotka-Volterra模型 

双物种竞争模型也可以写成：

其中是物种对物种的影响，然后可以推广到个物种的模型。

其中代表第个物种，是相互作用项的矩阵。

多物种模型的另一个代表是:

这个版本将承载能力和相互作用项拉到相互作用矩阵A内。对于三个物种，生长率，互动矩阵

 对于的值，可以产生混乱的行为。