标准正态分布k阶原点矩公式

标准正态分布k阶原点矩公式

今天在看${\chi }^2$分布，计算其方差时，遇到了标准正态分布的四阶原点矩。书上直接写$E(X_i^4)=3$，很好奇。设$X_i\sim \mathcal{N}(0,1)$想根据定义计算：
$$E(X_i^4)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^4\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
计算起来复杂度有点高，K阶就更不敢想。
想着估计结果是$k$的递推关系式。所有直接计算：
$$\begin{array}{rl}E(X^k)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}{|}_{-\infty }^{+\infty }+\frac{1}{k+1}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{k+2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =0+\frac{1}{k+1}E(X^{k+2})\end{array}$$
从上式看，结果已经很明显了，其递推关系为：
$$E(X^k)=(k-1)E(X^{k-2})，k=2,3,4\cdots$$
其中:
$$E(X^0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
$$E(X^1)=0$$
所以，当$k=2i$为偶数时：
$$\begin{array}{rl}E(X^k)& =(k-1)(k-3)\cdots 3\times 1\times E(X^0)\\ & =\prod _{i=1}^{k/2}(2i-1)\end{array}$$
当$k=2i-1$为奇数时：
$$\begin{array}{rl}E(X^k)& =(k-1)(k-3)\cdots 3\times 1\times E(X^1)\\ & =0\end{array}$$
综上有：
$$E(X^k)=\{\begin{array}{ll}{\prod }_{i=1}^{k/2}(2i-1)& k=2i,i=1,2,3\cdots \\ & \\ 0& k=2i-1\end{array}$$