基础数学（六）——非线性方程求根的数值解法

期末考核方式

• 给你一个非线性方程，让你自己去构造两个收敛的迭代格式，并给出收敛的理由，以及关于收敛速度的对比。其中一种可以写牛顿迭代，另外一种自己创造。
• 要能使用全局收敛准则，去验证迭代格式的收敛性。或者在知道解的情况下，验证导数的上下界限是否小于一。
• 使用收敛阶去比较，两个不同的迭代格式的收敛速度。或者使用迭代格式的导数进行比较。一阶导为二阶，二阶导为三阶。
• 对于同阶比较，通过比较导数绝对值进行实现。

求解的一般步骤

• 通过零点存在定理，判定根的大概位置
  
• 找到有根区间较大时，将大区间进行n等分，变成小区间人，然后逐个进行排查，确定有根区间的更小区间。
  

二分法求根

二分法计算样例

二分法的优缺点

• 注意：不能求偶数重根和复数根，两边主要不异号，就求不出来。

不动点迭代法

全局收敛准则

• 通过全局收敛准则来证明收敛性，通过L的大小来比较收敛的快慢。
• 压缩映射，自变量∈【a，b】，对应的生成结果也一定是属于【a，b】
• 同时还要满足的迭代格式导数的绝对值小于一。

收敛性证明样例

• 全局收敛的要求太高，大部分的收敛格式都不能满足，所以需要考虑局部收敛。

局部收敛性

• 注意：这里虽然要求了x﹡，但是考试的时候老师会给你其具体的值。一般是用1进行比较判定的。

收敛阶数的定义

迭代法具体例题（考试必考）

牛顿迭代法

• 就是用一次切线方程，求解即可。
  
  

例题（使用牛顿法近似目标解）（考过）

• 下述这个是不会的，这里判定收敛阶数，对Xn进行极限。
  

牛顿迭代收敛阶数

• 牛顿迭代
  • 优点：平方收敛，在迭代过程中只需要迭代几次就可得到精确的解
  • 缺点：
    • 受限于初值的选择，局部收敛
    • 计算量大，还要计算一阶导数值

简化牛顿、下山法和重根处理（了解）

简化牛顿法

• 每一次都是用第一次的导数作为斜率，减少计算量。局部收敛，初值选的不好，就不会收敛。

牛顿下山法

重根处理（考试重点）

• 牛顿迭代对于重根而言，默认牛顿迭代是一阶收敛。
  
• 对于重根而言：知道有多少重的，将结果写在前面，实现二重收敛。
• 下述为重数m未知，直接除以一阶导数即可实现，将之进行降阶，化成单根。
  
• 需要知道的两件事
  • 标准的牛顿迭代，不做任何处理，对于任何重根都是局部收敛，m越大收敛越慢
  • 要么知道根的重数，要么计算二阶导数

非线性方程组（不考）