matlab求方程在X附近的根,matlab 实验03 求代数方程的近似根（解）
matlab 实验03 求代数方程的近似根(解)
2018-12-23
三 求代数方程的近似根(解)
一、问题背景和实验目的
二、 相关函数(命令)及简介
三、 实验内容
四、自己动手
求代数方程
的根是最常见的数学问题之一(这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程)，当
是一次多项式时，称
为线性方程，否则称之为非线性方程．
当
是非线性方程时，由于
的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．
本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间
，或给出某根的近似值
．在实际问题抽象出的数学模型中，
可以根据物理背景确定；也可根据
的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．
通过本实验希望你能：
1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；
2. 求代数方程(组)的解．
1．abs( )：求绝对值函数．
2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．
diff(f, "a")：对变量a求微分，f 为符号表达式．
diff(f, "a", n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．
例如：
syms x t
diff(sin(x^2)*t^6, "t", 6)
ans=
720*sin(x^2)
3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式
的所有根．例如：
求解：
．
p = [1 -6 -72 -27];
r = roots(p)
r =
12.1229
-5.7345
-0.3884
4．solve("表达式")：求表达式的解．
solve("2*sin(x)=1")
ans =
1/6*pi
5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．
例如：
A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];
linsolve(A, b)
ans=
[ 1/9]
[19/72]
6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．
例如：
fzero(@sin, 3)
ans=
3.1416
7．subs(f, "x ", a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．
例如：
subs("x^2 ", "x ", 2)
ans = 4
首先，我们介绍几种与求根有关的方法：
1．对分法
对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．
设
在
上连续，
，即
，
或
，
．则根据连续函数的介值定理，在
内至少存在一点
，使
．
下面的方法可以求出该根：
(1) 令
，计算
；
(2) 若
，则
是
的根，停止计算，输出结果
．
若
，则令
，
，若
，则令
，
；
．
……，有
、
以及相应的
．
(3) 若
(
为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果
；
反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．
以上方法可得到每次缩小一半的区间序列
，在
中含有方程的根．
当区间长
很小时，取其中点
为根的近似值，显然有
以上公式可用于估计对分次数
．
分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为
的等比级数相同．由于
，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．
2. 迭代法
1) 迭代法的基本思想：
由方程
构造一个等价方程
从某个近似根
出发，令
，
可得序列
，这种方法称为迭代法．
若
收敛，即
，
只要
连续，有
即
可知，
的极限
是
的根，也就是
的根．
当然，若
发散，迭代法就失败．
以下给出迭代过程
收敛的一些判别方法：
定义：如果根
的某个邻域
中，使对任意的
，迭代过程
，
收敛，则称迭代过程在
附近局部收敛．
定理1： 设
，在
的某个邻域
内
连续，并且
，
，则对任何
，由迭代
决定的序列
收敛于
．
定理2：条件同定理 1，则
定理3：已知方程
，且
(1) 对任意的
，有
．
(2) 对任意的
，有
，则对任意的
，迭代
生成的序列
收敛于
的根
，且
．
以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：
当根区间
较小，且对某一
，
明显小于1时，则迭代收敛 (参见附录3)．
2) 迭代法的加速：
a) 松弛法：
若
与
同是
的近似值，则
是两个近似值的加权平均，其中
称为权重，现通过确定
看能否得到加速．
迭代方程是：
其中
，令
，试确定
：
当
时，有
，即当
，
时，
可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：
，
松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．
b) Altken方法：
松弛法要先计算
，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：
，
是它的根，
是其近似根．
设
，
，因为
，
用差商
近似代替
，有
，
解出
，得
由此得出公式
；
；
，
这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．
3. 牛顿(Newton)法(牛顿切线法)
1) 牛顿法的基本思想：
是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．
记：
是一次多项式，用
作为
的近似方程．
的解为
记为
，一般地，记
即为牛顿法公式.
2) 牛顿法的收敛速度：
对牛顿法，迭代形式为：
注意分子上的
，所以当
时，
，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．
牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值
要求较严，要求
相当接近真值
．
因此，常用其他方法确定初值
，再用牛顿法提高精度．
4. 求方程根(解)的其它方法
(1) solve("x^3-3*x+1=0")
(2) roots([1 0 -3 1])
(3) fzero("x^3-3*x+1", -2)
(4) fzero("x^3-3*x+1", 0.5)
(5) fzero("x^3-3*x+1", 1.4)
(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]")
体会一下，(2)
(5) 用了上述 1
3 中的哪一种方法？
以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．
具体实验1：对分法
先作图观察方程：
的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．
输入以下命令，可得
的图象：
f="x^3-3*x+1";
g="0";
ezplot(f, [-4, 4]);
hold on;
ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线 y=0，即 x 轴
grid on;
axis([-4 4 -5 5]);
hold off
请填写下表：
实根的分布区间
该区间上根的近似值
在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．
具体实验2：普通迭代法
采用迭代过程：
求方程
在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数．
构造等价方程：
用迭代公式：
，
用 Matlab 编写的程序参见附录2．
请利用上述程序填写下表：
分析：将附录2第4行中的
分别改为
以及
，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．
用 Matlab 编写的程序参见附录3．
具体实验3：收敛/发散判断
设方程
的三个根近似地取
，
和
，
这些近似值可以用上面的对分法求得．
迭代形式一：
收敛 (很可能收敛，下同)
不收敛 (很可能不收敛，下同)
不收敛
迭代形式二：
收敛
不收敛
不收敛
迭代形式三：
不收敛
收敛
收敛
具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法
，
，
迭代公式为
程序参见附录4．
具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法
迭代公式为：
，
，
程序参见附录5．
具体实验6：牛顿法
用牛顿法计算方程
在-2到2之间的三个根．
提示：
，
迭代公式：
程序参见附录6 (牛顿法程序)．
具体实验7：其他方法
求下列代数方程(组)的解：
(1)
命令：solve("x^5-x+1=0")
(2)
命令：[x, y]=solve("2*x+3*y=0", "4*x^2+3*y=1")
(3) 求线性方程组
的解，已知
，
命令：
for i=1:5
for j=1:5
m(i, j)=i+j-1;
end
end
m(5, 5)=0;
b=[1:5]"
linsolve(m, b)
思考：若
，或
是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则
应如何得到？
1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?
2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?
3．选择适当的迭代过程，分别使用：(1)普通迭代法；(2)与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程
在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．
4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程
的正的近似根，
．(建议取
．时间许可的话，可进一步考虑
的情况．)
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