特征值近似计算方法MATLAB,数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附matlab程序.docx...

数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附matlab程序.docx

矩阵的特征值与特征向量计算矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题(桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等)、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。关键词矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法矩阵的特征值与特征向量计算THECALCULATIONSOFEIGENVALUEANDEIGENVECTOROFMATRIXABSTRACTPHYSICS,MECHANICS,ENGINEERINGTECHNOLOGYINALOTOFPROBLEMSINMATHEMATICSAREATTRIBUTEDTOMATRIXEIGENVALUEPROBLEM,SUCHASVIBRATIONVIBRATIONOFTHEBRIDGE,MECHANICALVIBRATION,ELECTROMAGNETICVIBRATION,ETCINPHYSICS,SOMECRITICALVALUESDETERMINEPROBLEMSANDTHEORETICALPHYSICSINSOMEOFTHEPROBLEMSMATRIXEIGENVALUECALCULATIONISAVERYIMPORTANTPARTINMATRIXCOMPUTATIONINTHISPAPER,WEUSETHEPOWERANDINVERSEPOWERTOCALCULATETHEMAXIMUMOFTHEMATRIX,ACCORDINGTOTHEMINIMUMCHARACTERISTICVECTORANDTHECORRESPONDINGCHARACTERISTICVALUEPOWERISANITERATIVETOCALCULATETHEEIGENVALUESOFAMATRIXITHASTHEADVANTAGETHATTHEISSIMPLEANDSUITABLEFORSPARSEMATRICES,BUTSOMETIMESTHECONVERGENCERATEISVERYSLOWTHEBASICIDEAISTOTAKEANONZEROINITIALVECTORCONSTRUCTAVECTORSEQUENCEFROMTHEMATRIXOFTHEMATRIXTHENTHEEIGENVALUESANDEIGENVECTORSAREOBTAINEDBYUSINGTHECONSTRUCTEDVECTORSEQUENCETHEINVERSEPOWERISUSEDTOCALCULATETHEMINIMUMFEATUREVECTORSANDTHEIR矩阵的特征值与特征向量计算EIGENVALUESOFTHEMATRIX,ANDTOCALCULATETHEEIGENVALUESOFTHEMATRIXINTHISPAPER,WEUSETHEINVERSEPOWERTOCALCULATETHEMINIMUMEIGENVALUEOFAMATRIXANDITSCORRESPONDINGEIGENVALUESTHEBASICIDEAOFCALCULATINGTHEMINIMUMCHARACTERISTICVECTOROFAMATRIXISTOTRANSITTOTHEMAXIMUMCHARACTERISTICVECTOROFTHEMODULUSOFTHEINVERSEMATRIXTHEN,ACCORDINGTOTHEMODEL,THEMINIMUMFEATUREVECTOROFTHEORIGINALMATRIXISINTRODUCEDKEYWORDSMATRIX；EIGENVALUE；EIGENVECTOR；ITERATIONS目录1引言12相关定理。13符号说明24冥法及反冥法241冥法342反冥法85QR算法14参考文献18附录19矩阵的特征值与特征向量计算第1页共24页1引言在本论文中，我们主要讨论矩阵的特征值和特征向量的计算，我们知道，有很多现实中的问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算的知识，比如，在物理、力学和工程技术方面有很多的应用，并且发挥着极其重要的作用因为这些问题都可归结为求矩阵特征值的问题，具体到一些具体问题，如振动问题，物理中某些临界值的确定问题以及一些理论物理中的问题在本论文中，我们主要介绍求矩阵的特征值与特征向量的一些原理和方法，原理涉及高得代数中矩阵的相关定理，方法主要介绍冥法及反冥法并利用MATLAB算法的程序来求解相关问题，加以验证2相关定理定理21如果是矩阵A的特征值，则有I,21NTRANII1ODET221NAO定理22设A与B为相似矩阵，则1ATBA与B有相同的特征值；O1矩阵的特征值与特征向量计算第2页共24页若是的一个特征向量，则是A的特征向量O2XBTX定理23设，则A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中NIJA,211NIAIJJI定义21设A是N阶是对称矩阵，对于任意非零向量X，称为对应于向量XAXR,的RAYLEIGH商定理24设为对称矩阵(其特征值次序记作，对应的特征向量NRN21组成规范化正交组，即)，则NX,21IJJX,(对于任何非零向量X)；1,XANO,MA21OXRNO,I30AXRNNO3符号说明AN阶矩阵BN阶矩阵IN阶单位阵矩阵的特征值与特征向量计算第3页共24页矩阵特征值I,21NX实数域上的N维向量实数域上的N维向量,10IV实属上的规范化向量,KU4冥法及反冥法41冥法幂法是一种计算矩阵的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，ANR适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值设，其特征值为，对应特征向量为即NRAIJAI,1NIXIIX,1且线性无关设特征值满足(即为强占优)},{NIA1(411)|||21N幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量，由矩阵的乘幂构造一向量NRV0A序列0112201VAVKK412称为迭代向量}{矩阵的特征值与特征向量计算第4页共24页下面来分折关系与及}{1KVX由设为中一个基本，于是，有展开式,{1NR0VNIIXAV10(且设)01且有IKNIKKXVAV1011211NKKKX1KKA由假设(411)式,则,201NIIMK