时序图 循环_循环神经网络：BPTT算法、梯度消失、梯度爆炸

符号定义和解释

首先说明这里的推导采用的符号如下图所示：其中：

1. 是第 t 个时刻的输入
2. 是第 t 个时刻隐藏层的状态
3. 是第 t 个时刻的输出，比如如果我们想要预测下一个词是什么，那么可以认为
4. 计算方式为 ，其中的函数 f 代表一个非线性函数，比如 tanh 或者 ReLU
5. 第 1 个时刻对应的输入 通常初始化为零向量
6. 是循环神经网络的参数，所有时刻共享，这在很大程度上减少了参数数量

如何理解

是隐藏层的状态，可以把 看成循环神经网络的记忆，通过 可以知道在之前所有时刻都发生了什么，但是实际情况通常是通过 并不能知道“很久以前”到底发生了什么。循环神经网络的最重要的一个特性就是隐藏层状态了，我们可以通过隐藏层状态捕获到一个序列的相关信息。

如何理解

是神经网络的输出，如上图所示，每个时刻都有输出，但是实际上每个时刻是否需要有输出是视情况而定的。比如我们做文本情感分析，我们只关心整个句子最后一个时刻的输出，那之前所有的时刻都是不需要输出的。

BPTT 算法

由于循环神经网络是一种基于时序数据的网络模型，因此传统的 BP 算法并不适用于该模型的优化，循环神经网络中最常用的优化算法为 BPTT(Backpropagation Through Time) 算法。首先我们有：

接着我们可以用交叉熵来计算每个时刻的 loss：

通常我们把每次输入的一个序列看成一个训练样本，所以就把每个时刻的交叉熵的和看成这个样本的总误差：

首先我们根据以上的定义，给出以下简化了的图片：

接下来我们通过总误差计算 这些参数的梯度，然后用随机梯度下降法更新参数。接下来以 为例详细分析。首先计算参数 的梯度：

在以上推导过程中 ， 代表的是计算两个向量的外积(叉乘)。我们发现参数 的梯度仅仅依赖当前时刻的隐层状态和当前时刻的输出。接下来计算参数 和参数 的梯度，首先我们给出一张计算图，图中的矩形框代表的输入，图中的椭圆形框代表的计算函数。通过计算图我们可以得到参数 和参数 的梯度：

形象化的图像如下图所示：

我们可以将参数 W 的表达式简化成以下形式：

梯度消失和梯度爆炸

首先我们从上式中可以看出，参数 和参数 的导数存在连乘的情况。假设我们使用的激活函数为 tanh， 通过以下公式

我们可以发现每次向前传递误差(每次求导)都要经过(处理)一个 tanh 函数。tanh 函数的图像和 tanh 函数的导函数图像如下图所示：

然后我们知道 tanh 函数的基本形式和其导数形式为：

下面展开 来更加具体的说明梯度消失和梯度爆炸的问题：

梯度消失

通过上图我们知道 tanh 函数的导数小于等于 1，同时如果参数 W 初始化的很小的话，那么 将会是一个小于 0 的数，我们可以类推出 将会是一个小于 0 的数。假设有 n 项连乘，则可形式化表示为：

小于的数

随着时刻向前推移(误差沿着时间向前传递)，梯度是呈指数级下降的。这也就是梯度消失问题。

梯度爆炸

如果 W 初始的很大的话，那么我们可以类推出 将会是一个大于 0 的数。如果有 n 项连乘，则可形式化表示为：

大于的数

随着时刻向前推移(误差沿着时间向前传递)，梯度是呈指数级上升的。这也就是梯度爆炸的问题。

解决办法

梯度爆炸的问题可以用梯度裁剪的方式来缓解。梯度消失的问题则有以下缓解方式：

1. 更换激活函数，比如可以选择 ReLU 函数。
2. 更改 RNN 隐藏层的结构，比如采用 GRU 或者 LSTM 的隐藏层结构。

参考

1. Recurrent Neural Networks Tutorial, Part 1 – Introduction to RNNs
2. Recurrent Neural Networks Tutorial, Part 3 – Backpropagation Through Time and Vanishing Gradients
3. 深度学习中的激活函数与梯度消失