DR_CAN基尔霍夫电路题解法【自留用】

如图所示电路，输入端电压$e_i$，输出端电压$e_o$，求二者之间关系。

对其中元件进行标号，并将电流环路标号，指出各元件的压降方向：

v值得注意的是：
1）电阻$R_2$同时占据环路I与环路II，按照图中规定的压降方向，其上电流应该为$i_1-i_2$。
2）同理，电阻$R_3$上的电流应该为$i_2-i_3$。

对3条环路，列出3个KVL方程：
环路1：
$$i_1{R}_1+\left(i_1-i_2\right)R_2=e_i\text{\hspace{1em}(1)}$$$$\left(i_2-i_3\right)R_3+e_o=\left(i_1-i_2\right)R_2\text{\hspace{1em}(2)}$$$$\frac{1}{C}{\int }_0^t{i}_{3}dt=\left(i_2-i_3\right)R_3\text{\hspace{1em}(3)}$$同时输出端还有
$$e_o=i_2{R}_4\text{\hspace{1em}(4)}$$将(1)(2)(3)联立有
$$\frac{1}{C}{\int }_0^t{i}_{3}dt+i_2{R}_4=e_i-i_1{R}_1\text{\hspace{1em}(5)}$$同时，由(1)可以推出：
$$i_1=\frac{e_i}{R_1+R_2}+\frac{R_2}{R_1+R_2}{i}_2\text{\hspace{1em}(6)}$$将$i_1$表达式代入(4)：
$$\frac{1}{C}{\int }_0^t{i}_{3}dt=\frac{R_2}{R_1+R_2}{e}_i-\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}{i}_2-e_o\text{\hspace{1em}(7)}$$对其求导
$$\frac{1}{C}{i}_3=\frac{R_2}{R_1+R_2}\frac{d{e}_i}{dt}-\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}\frac{d{i}_2}{dt}-\frac{d{e}_o}{dt}\text{\hspace{1em}(8)}$$另一方面，由(3)又有
$$\frac{R_2}{R_1+R_2}{e}_i-\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}{i}_2-e_o=\left(i_2-i_3\right)R_3⟹$$$$i_3{R}_3=\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+R_3\right)i_2+e_o-\frac{R_2}{R_1+R_2}{e}_i⟹$$$$i_3=\left[\frac{R_1{R}_2}{R_3\left(R_1+R_2\right)}+1\right]i_2+\frac{1}{R_3}{e}_o-\frac{R_2}{R_3\left(R_1+R_2\right)}{e}_i\text{\hspace{1em}(9)}$$将(8)(9)联立
$$\frac{C{R}_2}{R_1+R_2}\frac{d{e}_i}{dt}-\frac{C{R}_1{R}_2}{R_1+R_2}\frac{d{i}_2}{dt}-C\frac{d{e}_o}{dt}=\left[\frac{R_1{R}_2}{R_3\left(R_1+R_2\right)}+1\right]i_2+\frac{1}{R_3}{e}_o-\frac{R_2}{R_3\left(R_1+R_2\right)}{e}_i$$又因为$e_o=i_2{R}_4$，因此上式化为
$$\frac{C{R}_2{R}_4}{R_1+R_2}\frac{d{e}_i}{dt}+\frac{R_2{R}_4}{R_3\left(R_1+R_2\right)}{e}_i=C\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+R_4\right)\frac{d{e}_o}{dt}+\left[\frac{R_1{R}_2}{R_3\left(R_1+R_2\right)}+\frac{R_4}{R_3}+1\right]e_o\text{\hspace{1em}(10)}$$
(10)式即为最终得到的$e_i$与$e_o$关系式。

带入值：$R_1=\frac{4}{3}\Omega ,R_2=4\Omega ,R_3=3\Omega ,R_4=2\Omega$有
$$\frac{3}{2}C\frac{d{e}_o}{dt}+e_o=\frac{3}{4}C\frac{d{e}_i}{dt}+\frac{1}{4}{e}_i.$$

关键点难点解析
注意跨环路的电阻$R_2$与$R_3$上的电流的表达式。