第4章 线性方程组
线性方程组
4.1高斯消元法
高斯消元法的求解步骤如下：
（1）用初等行变换将增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵。
（2）写出对应的同解方程组
（3）选取与主元对应的未知量，它们就约束未知量，当约束未知量选定之后，方程组的其他未知量------自由未知量，自然也就确定了（这里应特别注意，要先选取约束未知量）
（4）将所有的自由未知量移到等号右端去，用自由未知量表示约束未知量，即得通解。
4.2齐次线性方程组
1.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
（1）设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩 r ( A ) < n r(A)
（2）设A为n阶方阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是|A|=0。 齐次线性方程组解的性质与解空间。 （1）设 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2均为齐次线性方程组Ax=0的解，则 ξ 1 + ξ 2 \xi_1+\xi_2 ξ1+ξ2也是齐次线方程组Ax=0的解。 （2）设 ξ \xi ξ为齐次线性方程组Ax=0的解，k为任意常数，则 k ξ k\xi kξ也是齐次线性方程组Ax=0的解。 （3）若 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , . . . . ξ t \xi_1,\xi_2,\xi_3,....\xi_t ξ1,ξ2,ξ3,....ξt均为齐次线性方程组Ax=0的解，则 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k t ξ t k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_t\xi_t k1ξ1+k2ξ2+...+ktξt也是齐次线性方程组Ax=0的解（其中 k 1 , k 2 , . . . , k t k_1,k_2,...,k_t k1,k2,...,kt为任意常数） 齐次线性方程组Ax=0的全体解向量构成 R n R^n Rn的子空间，这个子空间通常称为方程Ax=0的解空间。 3.用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系与通解。 （1）设 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ t \xi_1,\xi_2,...,\xi_t ξ1,ξ2,...,ξt是齐次线性方程组Ax=0的一组解，如果满足 事实上，方程组Ax=0的基础解系就是解空间的基，从而方程组的全部解为 （2）设 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是m×n矩阵，且 r ( A ) = r < n r(A)=r 若m×n矩阵A的秩为r，则方程组Ax=0的任意n-r个线性无关的解，均为Ax=0的一个基础解系。 （3）求齐次线性方程组Ax=0的基础解系的一般步骤： 1 用初等行变换将系数矩阵A化为阶梯形。 阶梯形中非零行的行数r为矩阵A的秩。 2 当r=n时，方程组只有零解，当r 3 将各非零行左第一个非零元素"1"所对应的r个未知量保留大等式左边，其余的n-r个未知量称到等式右边作为自由未知量，写出同解放程组 { x 1 = c 1 r + 1 x r + 1 + . . . + c 1 n x n x 2 = c 2 r + 1 x r + 1 + . . . + c 2 n x n . . . x r = c r r + 1 x r + 1 + . . . + c r n x n \left\{ \begin{matrix} x_1=c_{1r+1}x_{r+1}+...+c_{1n}x_n\\ x_2=c_{2r+1}x_{r+1}+...+c_{2n}x_n\\ ...\\ x_r=c_{rr+1}x_{r+1}+...+c_{rn}x_n \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧x1=c1r+1xr+1+...+c1nxnx2=c2r+1xr+1+...+c2nxn...xr=crr+1xr+1+...+crnxn 4 对n-r自由未知量取值。 由同解方程组求得基础解系。 1.非齐次线性方程组有解的充分必要条件 非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β 有解的充分必要件件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。即 r ( A ) = r ( A , β ) r(A)=r(A,\beta) r(A)=r(A,β) （1）若 η 1 , η 2 \eta_1,\eta_2 η1,η2是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的解，则 η 1 − η 2 \eta_1-\eta_2 η1−η2是导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。 （2）设A为m×n矩阵，且 r ( A , β ) = r ( A ) = n r(A,\beta)=r(A)=n r(A,β)=r(A)=n，则非齐线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β有唯一解。 （3）若 η \eta η是方程线 A x = β Ax=\beta Ax=β的解， ξ \xi ξ是导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，则 η + ξ \eta+\xi η+ξ是导出组 A x = β Ax=\beta Ax=β的解。 当A为方阵时，若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣=0则 r ( A ) = r ( A , β ) = n r(A)=r(A,\beta)=n r(A)=r(A,β)=n，于是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β有唯一解；若|A|=0,则r(A) 3.非齐次线性方程组解的结构与通解 设A为m×n矩阵，A的秩 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,若 η ∗ \eta^* η∗是非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β 的一个特解， ξ 1 , . . ξ n − r \xi_1,..\xi_{n-r} ξ1,..ξn−r是导出组Ax=0的一个基础解系，则 η ∗ + c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . . + c n − r ξ n − r ( c 1 , c 2 , . . . . , c n − r 为任意常数 ) \eta^* + c_1\xi_1+c_2\xi_2+....+c_{n-r}\xi_{n-r}(c_1,c_2,....,c_{n-r}为任意常数) η∗+c1ξ1+c2ξ2+....+cn−rξn−r(c1,c2,....,cn−r为任意常数) 是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的全部解，即方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的通解。 用初等行变换求非齐次线性方程组 用初等 行变换求非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β通解的步骤： （1）对 ( A , β ) (A,\beta) (A,β)进行初等行变换化简成行阶梯形矩阵 ； （2）写出与原方租组同解的方程组，确定自由未知量； （3）设自由未知量为零，可得得 A x = β Ax=\beta Ax=β的特解 η ∗ \eta^* η∗; （4）再写出与原方程组的导出组同解的方程组； （5）令自由未知量为单位向量，可得到导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n − 1 \xi_1,\xi_2,...,\xi_{n-1} ξ1,ξ2,...,ξn−1; （6）写出 A x = β Ax=\beta Ax=β
事实上对于n阶方阵，r(A)
c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . + c t ξ t ( c 1 , c 2 , . . . . , c t ) c_1\xi_1+c_2\xi_2+...+c_t\xi_t(c_1,c_2,....,c_t) c1ξ1+c2ξ2+...+ctξt(c1,c2,....,ct)为任意常数。
称其为方程组Ax=0的通解。
∣ 1 , 0 , . . . , 0 , − c 1 r + 1 , . . . , − c 1 n 0 , 1 , . . . , 0 , − c 2 r + 1 , . . . . , − c 2 n . . . 0 , 0 , . . . , − c r r + 1 , . . . , − c r n 0 , . . . , 0 , . . . 0 , . . . , 0 0 , . . . , 0 , . . . 0 , . . . , 0 ∣ \left| \begin{matrix} 1,0,...,0,-c_{1r+1},...,-c_{1n}\\ 0,1,...,0,-c_{2r+1},....,-c_{2n}\\ ...\\ 0,0,...,-c_{rr+1},...,-c_{rn}\\ 0,...,0,...0,...,0\\ 0,...,0,...0,...,0\\ \end{matrix} \right| 1,0,...,0,−c1r+1,...,−c1n0,1,...,0,−c2r+1,....,−c2n...0,0,...,−crr+1,...,−crn0,...,0,...0,...,00,...,0,...0,...,0
∣ 1 0 . . . 0 ∣ , ∣ 0 1 . . . 0 ∣ . . . ∣ 0 0 . . . 1 ∣ \left| \begin{matrix} 1\\ 0\\ ...\\ 0\\ \end{matrix} \right| , \left| \begin{matrix} 0\\ 1\\ ...\\ 0\\ \end{matrix} \right| ... \left| \begin{matrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\ \end{matrix} \right| 10...0 , 01...0 ... 00...1 4.3非齐次线性方程组
η = η ∗ + c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . + c n − r ξ n − r ( c 1 , c 2 , . . . , c n − r 为任意实数 ) \eta = \eta^* +c_1\xi_1+c_2\xi_2+...+c_{n-r}\xi_{n-r}(c_1,c_2,...,c_{n-r}为任意实数) η=η∗+c1ξ1+c2ξ2+...+cn−rξn−r(c1,c2,...,cn−r为任意实数)