第4章 线性方程组

线性方程组

4.1高斯消元法

高斯消元法的求解步骤如下:

(1)用初等行变换将增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵。

(2)写出对应的同解方程组

(3)选取与主元对应的未知量,它们就约束未知量,当约束未知量选定之后,方程组的其他未知量------自由未知量,自然也就确定了(这里应特别注意,要先选取约束未知量)

(4)将所有的自由未知量移到等号右端去,用自由未知量表示约束未知量,即得通解。

4.2齐次线性方程组

1.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

(1)设A为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩 r ( A ) < n r(A)r(A)<n

(2)设A为n阶方阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是|A|=0。
事实上对于n阶方阵,r(A)

  1. 齐次线性方程组解的性质与解空间。

    (1)设 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2均为齐次线性方程组Ax=0的解,则 ξ 1 + ξ 2 \xi_1+\xi_2 ξ1+ξ2也是齐次线方程组Ax=0的解。

    (2)设 ξ \xi ξ为齐次线性方程组Ax=0的解,k为任意常数,则 k ξ k\xi kξ也是齐次线性方程组Ax=0的解。

    (3)若 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , . . . . ξ t \xi_1,\xi_2,\xi_3,....\xi_t ξ1,ξ2,ξ3,....ξt均为齐次线性方程组Ax=0的解,则 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k t ξ t k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_t\xi_t k1ξ1+k2ξ2+...+ktξt也是齐次线性方程组Ax=0的解(其中 k 1 , k 2 , . . . , k t k_1,k_2,...,k_t k1,k2,...,kt为任意常数)

齐次线性方程组Ax=0的全体解向量构成 R n R^n Rn的子空间,这个子空间通常称为方程Ax=0的解空间。

3.用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系与通解。

(1)设 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ t \xi_1,\xi_2,...,\xi_t ξ1,ξ2,...,ξt是齐次线性方程组Ax=0的一组解,如果满足

  • 1 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ t \xi_1,\xi_2,...,\xi_t ξ1,ξ2,...,ξt线性无关
  • 2 Ax=0的任意解 ξ \xi ξ均可由 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ t \xi_1,\xi_2,...,\xi_t ξ1,ξ2,...,ξt线性表示。称 ξ 1 , ξ 2 , . . . . ξ t \xi_1,\xi_2,....\xi_t ξ1,ξ2,....ξt为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系。

事实上,方程组Ax=0的基础解系就是解空间的基,从而方程组的全部解为
c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . + c t ξ t ( c 1 , c 2 , . . . . , c t ) c_1\xi_1+c_2\xi_2+...+c_t\xi_t(c_1,c_2,....,c_t) c1ξ1+c2ξ2+...+ctξt(c1,c2,....,ct)为任意常数。
称其为方程组Ax=0的通解。

(2)设 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是m×n矩阵,且 r ( A ) = r < n r(A)=rr(A)=r<n,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-r个向量构成。

若m×n矩阵A的秩为r,则方程组Ax=0的任意n-r个线性无关的解,均为Ax=0的一个基础解系。

(3)求齐次线性方程组Ax=0的基础解系的一般步骤:

  • 1 用初等行变换将系数矩阵A化为阶梯形。
    ∣ 1 , 0 , . . . , 0 , − c 1 r + 1 , . . . , − c 1 n 0 , 1 , . . . , 0 , − c 2 r + 1 , . . . . , − c 2 n . . . 0 , 0 , . . . , − c r r + 1 , . . . , − c r n 0 , . . . , 0 , . . . 0 , . . . , 0 0 , . . . , 0 , . . . 0 , . . . , 0 ∣ \left| \begin{matrix} 1,0,...,0,-c_{1r+1},...,-c_{1n}\\ 0,1,...,0,-c_{2r+1},....,-c_{2n}\\ ...\\ 0,0,...,-c_{rr+1},...,-c_{rn}\\ 0,...,0,...0,...,0\\ 0,...,0,...0,...,0\\ \end{matrix} \right| 1,0,...,0,c1r+1,...,c1n0,1,...,0,c2r+1,....,c2n...0,0,...,crr+1,...,crn0,...,0,...0,...,00,...,0,...0,...,0

    阶梯形中非零行的行数r为矩阵A的秩。

  • 2 当r=n时,方程组只有零解,当r

  • 3 将各非零行左第一个非零元素"1"所对应的r个未知量保留大等式左边,其余的n-r个未知量称到等式右边作为自由未知量,写出同解放程组

{ x 1 = c 1 r + 1 x r + 1 + . . . + c 1 n x n x 2 = c 2 r + 1 x r + 1 + . . . + c 2 n x n . . . x r = c r r + 1 x r + 1 + . . . + c r n x n \left\{ \begin{matrix} x_1=c_{1r+1}x_{r+1}+...+c_{1n}x_n\\ x_2=c_{2r+1}x_{r+1}+...+c_{2n}x_n\\ ...\\ x_r=c_{rr+1}x_{r+1}+...+c_{rn}x_n \end{matrix} \right. x1=c1r+1xr+1+...+c1nxnx2=c2r+1xr+1+...+c2nxn...xr=crr+1xr+1+...+crnxn

  • 4 对n-r自由未知量取值。
    ∣ 1 0 . . . 0 ∣ , ∣ 0 1 . . . 0 ∣ . . . ∣ 0 0 . . . 1 ∣ \left| \begin{matrix} 1\\ 0\\ ...\\ 0\\ \end{matrix} \right| , \left| \begin{matrix} 0\\ 1\\ ...\\ 0\\ \end{matrix} \right| ... \left| \begin{matrix} 0\\ 0\\ ...\\ 1\\ \end{matrix} \right| 10...0 , 01...0 ... 00...1

    由同解方程组求得基础解系。

    4.3非齐次线性方程组

    1.非齐次线性方程组有解的充分必要条件

    非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β 有解的充分必要件件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。即 r ( A ) = r ( A , β ) r(A)=r(A,\beta) r(A)=r(A,β)

  1. 非齐次线性方程组无解,有唯一解,有无穷解的判别。

(1)若 η 1 , η 2 \eta_1,\eta_2 η1,η2是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的解,则 η 1 − η 2 \eta_1-\eta_2 η1η2是导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。

(2)设A为m×n矩阵,且 r ( A , β ) = r ( A ) = n r(A,\beta)=r(A)=n r(A,β)=r(A)=n,则非齐线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β有唯一解。

(3)若 η \eta η是方程线 A x = β Ax=\beta Ax=β的解, ξ \xi ξ是导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解,则 η + ξ \eta+\xi η+ξ是导出组 A x = β Ax=\beta Ax=β的解。

当A为方阵时,若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 A=0 r ( A ) = r ( A , β ) = n r(A)=r(A,\beta)=n r(A)=r(A,β)=n,于是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β有唯一解;若|A|=0,则r(A) A x = β Ax=\beta Ax=β可能有无穷多解,也可能无解。

3.非齐次线性方程组解的结构与通解

设A为m×n矩阵,A的秩 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,若 η ∗ \eta^* η是非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β 的一个特解, ξ 1 , . . ξ n − r \xi_1,..\xi_{n-r} ξ1,..ξnr是导出组Ax=0的一个基础解系,则

η ∗ + c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . . + c n − r ξ n − r ( c 1 , c 2 , . . . . , c n − r 为任意常数 ) \eta^* + c_1\xi_1+c_2\xi_2+....+c_{n-r}\xi_{n-r}(c_1,c_2,....,c_{n-r}为任意常数) η+c1ξ1+c2ξ2+....+cnrξnr(c1,c2,....,cnr为任意常数)

是方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的全部解,即方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β的通解。

  1. 用初等行变换求非齐次线性方程组

    用初等 行变换求非齐次线性方程组 A x = β Ax=\beta Ax=β通解的步骤:

    (1)对 ( A , β ) (A,\beta) (A,β)进行初等行变换化简成行阶梯形矩阵 ;

    (2)写出与原方租组同解的方程组,确定自由未知量;

    (3)设自由未知量为零,可得得 A x = β Ax=\beta Ax=β的特解 η ∗ \eta^* η;

    (4)再写出与原方程组的导出组同解的方程组;

    (5)令自由未知量为单位向量,可得到导出组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n − 1 \xi_1,\xi_2,...,\xi_{n-1} ξ1,ξ2,...,ξn1;

    (6)写出 A x = β Ax=\beta Ax=β
    η = η ∗ + c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + . . . + c n − r ξ n − r ( c 1 , c 2 , . . . , c n − r 为任意实数 ) \eta = \eta^* +c_1\xi_1+c_2\xi_2+...+c_{n-r}\xi_{n-r}(c_1,c_2,...,c_{n-r}为任意实数) η=η+c1ξ1+c2ξ2+...+cnrξnr(c1,c2,...,cnr为任意实数)

你可能感兴趣的:(线性代数,线性代数,矩阵)